Question

已知函数f(x)在［0,1］上可导，满足xf'(x)=f(x)+3x²，试求f(x),使得由曲线y

已知函数f(x)在［0,1］上可导，满足xf'(x)=f(x)+3x²，试求f(x),使得由曲线y=f(x)与直线x=0,x=1和y=0所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小

Answer 1

答：
xf'(x)=f(x)+3x²
[xf'(x)-f(x) ] /x²=3
[ f(x) /x ]'=3
积分得：f(x)/x=3x+C
所以：f(x)=3x²+Cx
f(1)=3+C
V=(0→1) ∫ πf²(x) dx
=(0→1) ∫π(3x²+Cx)² dx
=(0→1) ∫π(9x^4+6Cx³+C²x²) dx
=(0→1) π (9x^5 /5 +6Cx^4 /4 +C²x³/3)
=(9/5+3C/2+C²/3)π
=(π/6)×(2C²+9C)+9π/5
当C=-9/4时，V取得最小值
所以：f(x)=3x²-9x/4

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