Question

如图，在四棱锥 P - ABCD 中，四边形 ABCD 是正方形， PD ⊥平面 ABCD ， PD = AB =2， E,F，G 分别是 P

如图，在四棱锥 P - ABCD 中，四边形 ABCD 是正方形， PD ⊥平面 ABCD ， PD = AB =2， E,F，G 分别是 PC,PD,BC 的中点． (1)求三棱锥 E - CGF 的体积；(2)求证：平面 PAB// 平面 EFG ；

Answer 1

（1） （2）对于面面平行的证明，一般要根据判定定理来得到，先证明 EG //平面 PAB ．来说民结论。

试题分析：(1)解：∵ PD ⊥平面 ABCD, ∴ PD ⊥ BC . 又∵ ABCD 为正方形， ∴ CD ⊥ BC , ∴ BC ⊥平面 PCD 即 GC ⊥平面 CEF. ∴ V E - CGF = V G - CEF = × S △ CEF × GC = ×( ×1×1)×1= ．      3分 (2)证明： E,F 分别是线段 PC,PD 的中点， ∴ EF // CD . 又 ABCD 为正方形， AB // CD ， ∴ EF // AB . 又 EF 平面 PAB ， ∴ EF// 平面 PAB ． ∵ E,G 分别是线段 PC,BC 的中点， ∴ EG // PB . 又 EG 平面 PAB ， ∴ EG //平面 PAB ． ∵ EF ∩ EG = E, ∴平面 PAB// 平面 EFG ．                            6分 (3) Q 为线段 PB 中点时， PC ⊥平面 ADQ ． 取 PB 中点 Q ，连接 DE,EQ,AQ ， ∵ EQ // BC // AD ， ∴ ADEQ 为平面四边形， 由 PD ⊥平面 ABCD ，得 AD ⊥ PD ， 又 AD ⊥ CD ， PD ∩ CD = D ， ∴ AD ⊥平面 PDC ，∴ AD ⊥ PC ， 又三角形 PDC 为等腰直角三角形， E 为斜边中点， ∴ DE ⊥ PC . ∵ AD ∩ DE = D ， ∴ PC ⊥平面 ADQ ．                       10分 点评：主要是考查了几何体的体积的计算，以及线面平行的判定定理的运用，属于中档题。