Question

（2011?浙江）设函数f（x）=（x﹣a） 2 lnx，a∈R（1）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（2）求实数a

（2011?浙江）设函数f（x）=（x﹣a） 2 lnx，a∈R（1）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（2）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e 2 成立．注：e为自然对数的底数．

Answer 1

（1）a=e，或a=3e    （2）

（1）求导得f′（x）=2（x﹣a）lnx+ =（x﹣a）（2lnx+1﹣ ）， 因为x=e是f（x）的极值点， 所以f′（e）=0 解得a=e或a=3e． 经检验，a=e或a=3e符合题意， 所以a=e，或a=3e （2）①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e 2 成立 ②当1＜x≤3e时，，由题意，首先有f（3e）=（3e﹣a） 2 ln3e≤4e 2 ， 解得 由（1）知f′（x）=2（x﹣a）lnx+ =（x﹣a）（2lnx+1﹣ ）， 令h（x）=2lnx+1﹣ ，则h（1）=1﹣a＜0， h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1﹣ ≥2ln3e+1﹣ =2（ln3e﹣ ）＞0 又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x 0 则1＜x 0 ＜3e，1＜x 0 ＜a，从而，当x∈（0，x 0 ）时，f′（x）＞0， 当x∈（x 0 ，a）时，f′（x）＜0， 当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x 0 ）内是增函数， 在（x 0 ，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数 所以要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e 2 成立只要有 有h（x 0 ）=2lnx 0 +1﹣ =0得a=2x 0 lnx 0 +x 0 ，将它代入 得4x 0 2 ln 3 x 0 ≤4e 2 又x 0 ＞1，注意到函数4x 2 ln 3 x在（1，+∞）上是增函数故1＜x 0 ≤e 再由a=2x 0 lnx 0 +x 0 ，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e 由f（3e）=（3e﹣a） 2 ln3e≤4e 2 解得 ， 所以得 综上，a的取值范围为