Question

月球半径约为地球半径的 1 4 ，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的 1 6

月球半径约为地球半径的 1 4 ，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的 1 6 ，把月球和地球都视为质量均匀分布的球体．求：（1）环绕地球和月球表面运行卫星的线速度之比 v 地 v 月 ；（2）地球和月球的平均密度之比 ρ 地 ρ 月 ．

Answer 1

（1）物体受到的重力等于万有引力， 即：G Mm R 2 =mg  ①， 卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供， 由牛顿第二定律可得： G Mm R 2 =m v 2 R     ②， 由①②解得：v= gR   ③， 环绕地球和月球表面运行卫星的线速度之比： v 地 v 月 = g 地 R 地 g 月 R 月 =2 6 ：1  ④； （2）设想将一质量为m 0 的小体放在天体表面处． 由万有引力定律可得：G M m 0 r 2 =m 0 g   ⑤， 平均密度ρ= M 4 3 π r 3    ⑥， 由⑤⑥可得，地球和月球的平均密度之比： ρ 地 ρ 月 = g 地 r 月 g 月 r 地 =3：2； 答：（1）环绕地球和月球表面运行卫星的线速度之比是2 6 ：1； （2）地球和月球的平均密度之比是3：2．