Question

如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是AC边上的动点（与

如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是AC边上的动点（与点A、C不重合）．（1）当PQ∥BC，且Q为AC的中点时，求线段PQ的长；（2）若以CQ为直径作圆D，请问圆D有没有可能与斜边AB相切？若相切请求出该圆的半径；（3）当PQ与BC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）解：∵PQ∥BC，Q为AC的中点，
∴PQ为三角形ABC的中位线，
∴PQ=

1

2

BC=4；

（2）以CQ为直径作圆D，圆D可以与AB相切．
理由如下：设圆D与AB相切于M．
连接DM，如图，
∴DM⊥AB，
易证Rt△ADM∽Rt△ABC，
∴

DM

BC

=

AD

AB

，
设CD=x，则DM=x，AD=6-x，
而AC=6，BC=8得到AB=10，
∴

x

8

=

6?x

10

，解得x=

8

3

，
即该圆的半径为

8

3

；

（3）当PQ与BC不平行时，只有∠CPQ=90°时，△CPQ才可能为直角三角形．
①当CQ＝

16

3

时，以CQ为直径的圆〔即（2）中圆D〕与AB相切于M，这时点P运动到点M的位置，△CPQ为直角三角形．
②当

16

3

＜CQ＜6时，以CQ为直径的圆与直线AB有两个交点，当点P运动到这二个交点的位置时，△CPQ为直角三角形．
③当0＜CQ＜

16

3

时，以CQ为直径的圆与直线AB相离，没有交点，即点P在AB上运动时都在圆外，∠CPQ＜90°此时△CPQ不可能为直角三角形．
∴当

16

3

≤CQ＜6时，△CPQ可能为直角三角形．

Answer 2

圆D的半径=1.5  。