Question

如图，已知点P是线段AB上一动点（不与端点A，B重合），△APC和△PBD都是等边三角形，连接AD、BC交于点I，

如图，已知点P是线段AB上一动点（不与端点A，B重合），△APC和△PBD都是等边三角形，连接AD、BC交于点I，并与PC、PD交于点E、F，则有下列结论：①AD=BC；②等边△PEF；③∠CID=120°；④∠ECF=∠EDF，其中正确的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

∵△APC和△PBD都是等边三角形，
∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠BPD=60°，
∴∠APD=∠BPC=120°，
在△APD与△CPB中，

PD＝PB ∠APD＝∠BPC AP＝PC

，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴AD=BC，故①正确；
∵∠APC=∠BPD=60°，
∴∠EPF=60°，
∵△APD≌△CPB，
∴∠PAE=∠PCF，
在△APE与△CPF中，

∠PAE＝∠PCF PA＝PC ∠APC＝∠CPD

∴△APE≌△CPF（ASA），
∴PE=PF，即△PEF是等边三角形，故②正确；
∵由①可知∠PAD=∠PCB，
∴∠CAE+∠ACP=∠CAP+∠ACP=120°，
∵∠CID是△ACI的外角，
∴∠CID=∠CAE+∠ACP=120°，故③正确；
∵AP≠PD，
∴∠PAE≠∠EDF，由①知，∠PAD=∠ECF，
∴∠ECF≠∠EDF，故④错误．
故选C．