Question

等腰三角形ABC中，AB=AC，角BAC=36度，BC=1，点D在边AC上且BD平分，角ABC，设

等腰三角形ABC中，AB=AC，角BAC=36度，BC=1，点D在边AC上且BD平分，角ABC，设CD=x？ （1）求证：角ABC～角BCD （2）求x的值 （3）求cos36度—cos72度的值

Answer 1

知识点：相似三角形，黄金分割点，特殊角的三角函数。
提示：（1）本题求证的，不是角ABC～角BCD，
而是求证：△ABC～△BCD，用“角、角”可证。
（2）由△ABC～△BCD，得BC/CD=AB/BC，于是x(x+1)=1
解得：x=[(√5)-1]/2。
（3）作△BCD的高BE，则DE=x/2=[(√5)-1]/4，AE=1+x/2=[(√5)+3]/4。
由AB=1+x=[(√5)+1]/2，得cos36°=cos∠A=AE/AB=[(√5)+1]/4；
cos72°=cos∠C=CE/BC=DE/BC=DE=[(√5)-1]/4，
从而，cos36°-cos72°=1/2。
说明：1.本题中的三角形ABC为黄金三角形；
2.本题难度较大，但不超纲，出题者用心良苦，值得一赞！

无锡神奇数学家教（wxsqjj）