Question

线性代数问题求解，详细说一下秩的确定问题，解释一下，万分感谢

Answer 1

本题可以通过讨论秩的情况来解答。
假设如果 秩r（A-E），秩r（A-2E），秩r（A-3E）都等于3，那么（A-E)(A-2E)(A-3E）≠0，
与已知矛盾。则（A-E)，(A-2E)，(A-3E）中至少有1个矩阵秩＜3，齐次方程组（λE-A）x=0，有非零解。即1，2，3至少有1个是A的特征值。
（1）如果3个都是A的特征值，3阶矩阵A有3个不同特征值，必然相似对角化。
（2）如果有1个是A的特征值，不妨设1是A的特征值。那么r（A-2E）=r（A-3E）=3，由已知得
A-E=0，A=E，可对角化。其他同理。
（3）如果有2个是A的特征值，不妨设1，2是A的特征值。r（A-3E）=3，由已知得
（A-E)(A-2E)=0，有r（A-E）+r（A-2E）≤3，
另一方面r（A-E）+r（A-2E）≥r[(A-E)-(A-2E)]=r(E)=3，
于是r（A-E）+r（A-2E）=3。
齐次方程组（λE-A）x=0，对于特征值λ=1的线性无关的特征向量的个数=3-r（E-A）
即r（A-2E）个。
对于特征值λ=1的线性无关的特征向量的个数=3-r（A-2E），即r（A-E）个。
因此，A有r（A-E）+r（A-2E）=3个线性无关的特征向量，所以，A可相似对角化。

newmanhero 2015年1月5日22:43:32

希望对你有所帮助。

追问

假设如果 秩r（A-E），秩r（A-2E），秩r（A-3E）都等于3，那么（A-E)(A-2E)(A-3E）≠0， 这步是怎么来的?

newmanhero 2015年1月5日22:43:32

希望对你有所帮助。

求解释明白，再给100，谢谢

追答

假设如果 秩r（A-E），秩r（A-2E），秩r（A-3E）都等于3

那么|A-E|≠0，|A-2E|≠0，|A-3E|≠0，
由（A-E)(A-2E)(A-3E）=0，
则 |（A-E)(A-2E)(A-3E）|=0
即 |A-E||A-2E||A-3E|=0
与假设矛盾。所以当 秩r（A-E），秩r（A-2E），秩r（A-3E）都等于3时，
（A-E)(A-2E)(A-3E）≠0

追问

谢谢，在我的下一个提问里随便写点，再给你100

追答

问题在哪里。

追问

点开我的提问

谢谢帮我讲题的那个问题

Answer 2

由于 (A-E)(A-2E)(A-3E)=0
所以 A 的特征值只能是 1,2,3

(1)若1,2,3都是A的特征值,
则3阶矩阵A有3个不同的特征值, 故A可对角化

(2)若1,2,3中两个是A的特征值,另一个不是 --这个情况是关键
不妨设 1,2是A的特征值,3不是A的特征值
则 |A-3E|≠0, 故A-3E可逆
所以有 (A-E)(A-2E)=0
所以 r(A-E)+r(A-2E)<=3
又因为 3=r(E)=r[(A-E)-(A-2E)]<=r(A-E)+r(A-2E)
所以 r(A-E)+r(A-2E)=3
所以 3-r(A-E) + 3-r(A-2E) = 3
故A有3个线性无关的特征向量
所以A可对角化.

(3)若1,2,3中只有一个是A的特征值,其余两个都不是
比如1是, 2,3不是
同上可知 A-2E,A-3E 可逆
得 A-E=0
A=E 是对角矩阵.

追问

你这是百度上抄的，第2步所以。。。又因为。。。你帮我解释一下

???