Question

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q. （1）求证：△ADC≌△BEA；（2）若PQ=4

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q. （1）求证：△ADC≌△BEA；（2）若PQ=4，PE=1，求AD的长.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）9.

试题分析：（1）由已知可得△ABC是等边三角形，从而得到∠BAC=∠C=60°，根据SAS即可判定△ADC≌△BEA； （2）根据全等三角形的性质可得到∠ABE=∠CAD，再根据等角的性质即可求得∠BPQ=60°，再根据余角的性质得到∠PBQ=30°，根据在直角三角形中30°的角对的边是斜边的一半即可证得结果． 试题解析：（1）∵AB=BC=AC， ∴△ABC是等边三角形． ∴∠BAC=∠C=60°． ∵AB=AC，AE=CD， ∴△ADC≌△BEA． （2）∵△ADC≌△BEA， ∴∠ABE=∠CAD． ∵∠CAD+∠BAD=60°， ∴∠ABE+∠BAD=60°． ∴∠BPQ=60°． ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ=30°． ∴BP=2PQ=8． ∴BE=BP+PE=8+1=9, 又BE=AD ∴AD=9. 考点: 1.等边三角形的判定与性质；2.三角形全等的判定与性质.