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行列式解方程组的问题
是不是说的克莱默法则的问题,当方程组满足
方程的个数与方程的未知量的个数相等;
系数矩阵的行列式D不等于零
的时候,方程组的解存在并且唯一 x1=D1/D x2=D2/D ,... xn=Dn/D
这里Di 是把系数矩阵的第i列换成右端系数之后求行列式得到的值
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【分析】
非齐次线性方程组Ax=b的求解方法:
1、对增广矩阵(A,b)作初等【行】变换,化为阶梯形矩阵
2、求出导出组Ax=0的一个基础解系
3、求方程组的一个特解(为简捷,可令自由变量全为0)
4、按解的结构写出通解
解的结构: ξ(特解)+k1α1+k2α2+...+ksαs(基础解系)
注意:当方程组中含有参数时,分析讨论要严谨不要丢情况。
求出导出组Ax=0的一个基础解系的求解方法:
1、对系数矩阵A做初等【行】变换,化为阶梯形矩阵
2、由秩r(A)确定自由变量个数n-r(A)
3、找出一个秩为r(A)的矩阵,则其余的n-r(A)列对应的就是自由变量
4、每次给一个自由变量赋值为1,其余的自由变量赋值为0( 注意:赋值需要n-r(A)次)
对阶梯形方程组由下往上一次求解,就可得到。
注意:当对增广矩阵做行变换时,就已经对A做行变换了,不需要再进行一次。
【解答】
对增广矩阵(A,b)作初等【行】变换,化为阶梯形矩阵
1 2 1 5
2 -1 3 7
3 1 1 6 ——————→
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 2
r(A)= 3 ,所以方程有惟一特解。
x1=1,x2=1,x3=2
注意:本题较为特殊,恰好系数矩阵列满秩,所以此时方程只有惟一特解。就不需要基础解系。
如果r(A)<3,则需要再进行基础解系的求解。再按解的结构写出即可。
【评注】
如上解法为一般解的过程。
对于n行n个未知数的方程组的一种特殊情况,我们还可以用克莱姆法则求解。
当系数行列式 |A|≠ 0时,【如同本题一样】,方程组有惟一解。
D=|A|,Di为用b替换第i列的新行列式的值。
解为:x1=D1/D ,x2=D2/D,x3=D3/D,......,xn=Dn/D
newmanhero 2015年2月4日22:26:00
希望对你有所帮助,望采纳。
非齐次线性方程组Ax=b的求解方法:
1、对增广矩阵(A,b)作初等【行】变换,化为阶梯形矩阵
2、求出导出组Ax=0的一个基础解系
3、求方程组的一个特解(为简捷,可令自由变量全为0)
4、按解的结构写出通解
解的结构: ξ(特解)+k1α1+k2α2+...+ksαs(基础解系)
注意:当方程组中含有参数时,分析讨论要严谨不要丢情况。
求出导出组Ax=0的一个基础解系的求解方法:
1、对系数矩阵A做初等【行】变换,化为阶梯形矩阵
2、由秩r(A)确定自由变量个数n-r(A)
3、找出一个秩为r(A)的矩阵,则其余的n-r(A)列对应的就是自由变量
4、每次给一个自由变量赋值为1,其余的自由变量赋值为0( 注意:赋值需要n-r(A)次)
对阶梯形方程组由下往上一次求解,就可得到。
注意:当对增广矩阵做行变换时,就已经对A做行变换了,不需要再进行一次。
【解答】
对增广矩阵(A,b)作初等【行】变换,化为阶梯形矩阵
1 2 1 5
2 -1 3 7
3 1 1 6 ——————→
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 2
r(A)= 3 ,所以方程有惟一特解。
x1=1,x2=1,x3=2
注意:本题较为特殊,恰好系数矩阵列满秩,所以此时方程只有惟一特解。就不需要基础解系。
如果r(A)<3,则需要再进行基础解系的求解。再按解的结构写出即可。
【评注】
如上解法为一般解的过程。
对于n行n个未知数的方程组的一种特殊情况,我们还可以用克莱姆法则求解。
当系数行列式 |A|≠ 0时,【如同本题一样】,方程组有惟一解。
D=|A|,Di为用b替换第i列的新行列式的值。
解为:x1=D1/D ,x2=D2/D,x3=D3/D,......,xn=Dn/D
newmanhero 2015年2月4日22:26:00
希望对你有所帮助,望采纳。
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