如图，P是边长为1的正方形ABCD 对角线AC上一动点(P与A、C不重 合)，点E在射线BC上，且P
对角线AC上一动点(P与A、C不重
合)，点E在射线BC上，且PE=PB.
(1)设AP=x，
△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数
关系式，并写出x的取值范围
②当x取何值时，y得最大值，并求出这个
最大值
过程 展开
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：（1）利用三角形全等得出，∠PBC=∠PDC，由PB=PE，∴PE=PD．要证PE⊥PD；从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时．
（2）作出三角形的高，用未知数表示出即可．
解答：解：①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC（SAS）．
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
②（i）如图1，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
而∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD．
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图2．
∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
综合（i）（ii）（iii），PE⊥PD；
（2）如图3，过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE．
∵AP=x，AC=2，∠ACB=45°，PF⊥BC，
∴PC=2-x，PF=FC=22(2-x)=1-22x．
BF=FE=1-FC=1-（1-22x）=22x．
∴S△PBE=12EB•FP=BF•PF=22x（1-22x）=-12x2+22x．
即y=-12x2+22x（0＜x＜2）．
点评：此题主要考查了正方形的性质，以及函数关系式的得出方法．
参考资料： 菁优网
（1）证明：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．
又∵PB=PE，
∴BF=FE，
∴GP=FE，
∴△EFP≌△PGD（SAS）．
∴PE=PD．
②∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．
∴∠DPE=90度．
∴PE⊥PD．
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC（SAS）．
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
②（i）当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
而∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD．
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图．
∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
综合（i）（ii）（iii），PE⊥PD；
（2）过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE．
∵AP=x，AC= 2 ，∠ACB=45°，PF⊥BC，
∴PC= 2 -x，PF=FC= 2 2 ( 2 -x)=1- 2 2 x．
BF=FE=1-FC=1-（1- 2 2 x）= 2 2 x．
∴S△PBE=1 2 EB•FP=BF•PF= 2 2 x（1- 2 2 x）=-1 2 x2+ 2 2 x．
即y=-1 2 x2+ 2 2 x（0＜x＜ 2 ）．
面积为相乘除2。
X大于0小于根号2
X=根号2/2时最大
以D为原点建
设P点坐标，再求出E点坐标就行了
电脑打字比较麻烦
其实直接用几何方法解的话，过P点向BC做垂线就行了呀，你自己图不是画出来了吗
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