Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），线段CD在于x轴上，CD=3，点C从原点

如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），线段CD在于x轴上，CD=3，点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F．设运动时间为t，当E点到达A点时，停止所有运动．（1）求线段CE的长；（2）记S为Rt△CDE与△ABO的重叠部分面积，试写出S关于t函数关系式及t的取值范围；（3）如图2，连接DF，①当t取何值时，以C，F，D为顶点的三角形为等腰三角形？②直接写出△CDF的外接圆与OA相切时t的值．

Answer 1

（1）∵在Rt△CDE中，CD=3，DE=4，
∴CE=

CD2+DE2

=

32+42

=5；

（2）如图1，作FH⊥CD于H．
∵AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD，
∴四边形ODEB是矩形，
∴BE=OD，
∵OC=t，
∴BE=OD=OC+CD=t+3，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t，
∵AB∥OD，
∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，
∴

CF

EF

=

OC

AE

=

t

5?t

，

DG

EG

=

OD

AE

=

t+3

5?t

，
又∵CF+EF=5，DG+EG=4，
∴

EF+CF

CF

=

5?t+t

t

，

EG+DG

EG

=

t+3+5?t

5?t

，
∴CF=t，EG=

5?t

2

，
∴EF=CE-CF=5-t，
∵FH∥ED，
∴

HD

CD

=

EF

CE

，即HD=

EF

CE

?CD=

3

5

（5-t），
∴S=

1

2

EG?HD=

1

2

×

5?t

2

×

3

5

（5-t）=

3

20

（5-t）²