Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙C与x轴相切于D点，与y轴相交于A（0，2）、B（0，8）两点，圆心C在第一象限

如图，在平面直角坐标系中，⊙C与x轴相切于D点，与y轴相交于A（0，2）、B（0，8）两点，圆心C在第一象限．（1）求直径BC所在直线的解析式；（2）连接BC并延长交⊙C于点E，若线段BE上有一点P，使得AB2=BP?BE，能否推出AP⊥BE？请你给出你的判断，并说明理由；（3）在⊙C上是否存在点Q，使得△PEQ为等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）连接CD，过C作CN⊥y轴，交y轴于点N，
由A（0，2），B（0，8），得到N（0，5），即肢早含ON=CD=5；AN=BN=3，
∴圆C的半径BC=5，即C的纵坐标为5，
在Rt△BCN中，根据勾股定理得：CN=

BC2?BN2

=4，
∴C（4，5），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将B与C的坐标代入得：

b＝8 4k+b＝5

，
解得：

k＝? 3 4 b＝8

，
则直线BC的解析式为y=-

3

4

x+8；

（2）若线段BE上有一点P，使得AB²=BP?BE，能推出AP⊥BE，理由为：
连接AE，
∵BE为圆C的直径，
∴∠BAE=90°，
∵AB²=BP?BE，即

AB

BP

=

BE

AB

，且∠BAE=∠PBA，
∴△PBA∽△ABE，
∴∠BPA=∠BAE=90°，
∴AP⊥BE；

（3）在圆C上不存在点Q，使得△PEQ为等边三角形，理睁历由为：
假设在圆C上存在点Q，使得△PEQ为等边三角形，
作出线段PE的垂直平分线，垂历笑足为M，交圆O于点Q，连接CQ，
可得PM=ME，QM⊥PE，
∵AB²=BP?BE，AB=6，BE=10，
∴BP=3.6，
∴PE=BE-BP=10-3.6=6.4，
∴PM=EM=3.2，
∴CM=CE-ME=5-3.2=1.8，
在Rt△CMQ中，根据勾股定理得：QM=

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CQ2?CM2

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