Question

已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数，e=2.71828…）是R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（

已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数，e=2.71828…）是R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）讨论关于x的方程lnxf(x)＝x2?2ex+m的根的个．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=ln（e^x+a）是R的奇函数，则f（-x）=-f（x），
不妨去x=0，可得f（0）=ln（e⁰+a）=0，解得a=0．…..…..（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=lne^x=x，故

lnx

f(x)

＝

lnx

x

＝x2?2ex+m，
令f1(x)＝

lnx

x

，f2(x)＝x2?2ex+m，则

f

′ 1

(x)＝

1?lnx

x2

，
当x∈（0，e）时，

f

′ 1

(x)≥0，∴f₁（x）在（0，e]上为增函数；
当x∈[e，+∞）时，

f

′ 1

(x)≤0，∴f₁（x）在[e，+∞）上为减函数；
当x=e时，[f1(x)]max＝f1(e)＝

1

e

，…．…..（8分）
而f2(x)＝(x?e)2+m?e2，结合函数图象可知：
当m?e2＞

1

e

，即m＞

1

e

+e2时，方程无解；
当m?e2＝

1

e

，即m＝

1

e

+e2时，方程有一个根x=e；
当m?e2＜

1

e

，即m＜

1

e

+e2时，方程有两个根．…..…..…．（12分）