Question

设A是3阶实对称阵，秩为1，满足A2-3A=0．已知A的非零特征值的一个特征向量为α=（1，1，-1）T．（1）求A

设A是3阶实对称阵，秩为1，满足A2-3A=0．已知A的非零特征值的一个特征向量为α=（1，1，-1）T．（1）求A的特征值；（2）求A的属于特征值0的特征向量；（3）求阵A．

Answer 1

（1）设A的特征值为λ，则AX=λX，X≠0为λ所对应的特征向量，
由A满足A²-3A=O，
有（λ²-3λ）X=0，
于是λ²-3λ=0，
从而设A的特征值为λ=0，3．
（2）特征值3所对应的特征向量为设α=（1，1，-1）^T，
由实对称阵不同特征值对应的特征向量正交，
设0所对应的特征向量为X＝(x1，x2，x3)T，则有x₁+x₂-x₃=0
所以0所对应的特征向量为
β=（0，1，1）^T，γ=（-2，1，-1）^T．         
（3）由题目以及第二问可知
令P=

1 0 ?2 1 1 1 ?1 1 ?1

，则P^-1=

1

6

4 2 ?2 ?3 3 3 ?1 1 ?1

，
A=P

3       0       0

P^-1=

1 1 ?1 1 1 ?1 ?1 ?1 1

．