Question

计算下列对弧长的曲线积分。∫e^(x^2+y^2)ds,其中L为圆周x^2+y^2=a^2,直线y=x及x轴在第一象限所围成的扇形

的整个边界。求助

Answer 1

楼上很明显不对，曲线积分怎会有常数C的？
L：x² + y² = a²，y = x 以及 y = 0
用参数方程：{ x = a • cost
{ y = a • sint
ds = √(x'² + y'²) dt = √(a²sin²t + a²cos²t) dt = a dt
∫L e^(x² + y²) ds = ∫(0→π/4) e^a² • a dt = (πa/4)e^a²
用极座标：{ x = r • cosθ
{ y = r • sinθ
ds = √(r² + r'²) dθ = √(a² + 0) dθ = a dθ
∫L e^(x² + y²) ds = ∫(0→π/4) e^a² • a dθ = (πa/4)e^a²

追问

若把积分函数改成e^（(x^2+y^2）^0.5）呢？我用普通方法做有一步卡壳了。。。

追答

没关系的，取决於L

Answer 2

计算下列对弧长的曲线积分。∫e^(x^2+y^2)ds,其中L为圆周x^2+y^2=a^2,直线y=x及x轴在第一象限所围成的扇形,L是不是ds中的s 如果是 s=πa^2/8 ds=πa/4da ,
∫e^(x^2+y^2)ds=∫(πa/4)*(e^(a)^2)da =(πe^(a)^2)/8+c
不知道对不对