Question

数列求和 i的平方相加（1+4+9+16+.......n的平方） 求sn 我要过程，

Answer 1

设：S=12+22+32+…+n2
另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：
S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即 S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1) 第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为： S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：
22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2) 12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2
= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2 =22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n =22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3) 由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4) 由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n 即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n = n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1] = n(2n2+3n+1) = n(n+1)(2n+1) S= n(n+1)(2n+1)/ 6
亦即：S=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)

Answer 2

1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
证明:(n+1)³=n³+3n²+3n+1
∴(n+1)³-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
...
3³-2³=3*2²+3*2+1
2³-1³=3*1²+3*1+1
两边分别相加得
(n+1)³-1³=3*(1²+2²+...+n²)+3(1+2+...+n)+1*n
(n³+3n²+3n)-3n(n+1)/2-n=3Sn

3Sn=n(2n²+3n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/2
Sn=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

这是一个等差数列求和的问题，其中每一项为i的平方。我们可以使用求和公式来计算。
首先，我们需要找到数列的通项公式：
第一项：a1 = 1的平方 = 1
公差：d = (2的平方 - 1的平方) = 3
通项公式：an = a1 + (n-1) * d = 1 + (n-1) * 3 = 3n - 2
接下来，我们可以使用等差数列求和公式来计算，并代入通项公式。
Sn = n/2 * (a1 + an)
= n/2 * [1 + (3n - 2)]
= n/2 * (3n - 1)
因此，数列的和Sn = n/2 * (3n - 1)
例如，如果要计算前5项的和S5，我们将n = 5代入公式中：
S5 = 5/2 * (3*5 - 1)
= 5/2 * (15 - 1)
= 5/2 * 14
= 35
所以，前5项的平方和为35。你可以根据这个公式计算任意项数n的平方和。

Answer 4

这一串的计算方法早就分给老师了，不分给老师的话，我还跟老师下一节没有，只是一条与下一届的学生。

Answer 5

要求数列的和 S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2，可以通过数学归纳法来证明，并应用等差数列和的公式。

首先，我们观察到这个数列中每一项都是前一项的平方加上 n^2，即：
1^2 = 1
2^2 = 1^2 + 2^2 = 5
3^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14
4^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30
...

可以看出每一项都是前一项加上 n^2，我们可以将其表示为递推公式：
a_1 = 1
a_n = a_(n-1) + n^2

接下来，我们通过数学归纳法来证明数列的和 S_n 为 n(n+1)(2n+1)/6。

1. 基础情况：当 n = 1 时，数列的和为 S_1 = 1^2 = 1，与公式 n(n+1)(2n+1)/6 给出的结果相符。

2. 假设当 n = k 时，数列的和为 S_k = k(k+1)(2k+1)/6 成立，即 S_k = 1^2 + 2^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6。

3. 接下来，我们证明对于 n = k+1 也成立。考虑 S_(k+1) = 1^2 + 2^2 + ... + (k+1)^2，根据递推公式可以展开最后一项：
S_(k+1) = S_k + (k+1)^2
= k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2
= (k+1)[k(2k+1)/6 + (k+1)]
= (k+1)[(2k^2 + k + 6k + 6)/6]
= (k+1)(2k^2 + 7k + 6)/6
= (k+1)(k+2)(2k+3)/6

因此，对于 n = k+1 时，数列的和为 S_(k+1) = (k+1)(k+2)(2k+3)/6。

综上所述，根据数学归纳法，我们证明了数列的和 S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 为 n(n+1)(2n+1)/6。