Question

数学问题(9).....

已知数列(an)的前项n和sn满足条件2sn=3(an-1)，其中n属于N*。
(1)求证：数列(an)成等比数列；
(2)设数列(bn)满足bn=log3an，若tn=1/bnbn+1，求数列(tn)的前n项和.

Answer 1

1、2Sn=3（an-1）
2Sn-1=3（a（n-1）-1）
2an=3an-3an-1
an=3an-1
2a1=3（a1-1）
a1=3
故an是首项为3，公比为3的等比数列，即an=3^n
2、bn=log3an=n
故tn=1/1×2+1/2×3+……+1/n（n+1）=1-1/n+1=n/n+1

Answer 2

2sn=3(an-1)
2s(n-1)=3(a(n-1)-1)
相减得2an=3an-3a（n-1） 即an=3a（n-1）
2）因为2S1=3(a1-1),所以a1=3,an=3^n,bn=n.tn=1/n（n+1)=1/n-1/(n,+1)所以裂项相消Tn=1-1/(n+1

Answer 3

（1）直接利用an=Sn-Sn-1 （n≥2）和题中条件求出an和an-1的关系即可证得数列{an}为等比数列；
（2）先由（1）的结论求出数列{bn}的通项公式，再代入求出数列{tn}的通项公式，最后用裂项相消法求数列{tn}的前n项和即可．解：（1）由题得an=Sn-Sn-1=
32(an-an-1)(n≥2)（2分）
所以an=3an-1故有anan-1=3(n≥2)（4分）
又S1=
32(a1-1)=a1，解得a1=3，
所以数列an成等比数列（6分）
（2）由（1）得an=3n，则bn=log3an=log33n=n（8分）
故有tn=
1bnbn+1=
1n(n+1)
所以t1+t2+t3++tn=
11•2+
12•3+
13•4+
1n(n+1)（10分）
=(
11-
12)+(
12-
13)+(
13-
14)++(
1n-
1n+1)（14分）
=nn+1（16分）

Answer 4

2sn=3(an-1)…………………………………………………………………………………………………………………………………………………①
2s(n-1)=3(a(n-1)-1)………………………………………………………………………………………………………………………………②
①-②：2an=3an-3a（n-1） 即an=3a（n-1）
2）∵2S1=3(a1-1),∴a1=3,an=3^n,bn=n.tn=1/n（n+1)=1/n-1/(n,+1)，∴裂项相消Tn=1-1/(n+1）