Question

证明f﹙x﹚＝x²＋1在﹙﹣∞,0﹚上是减函数

Answer 1

第一种方法是定义法，在区间上任取两个数x1,x2,并令x1<x2 即x1方-x2方>0
分别代入原式中 f(x1)=x1方+1 f(x2)=x2方+1 f(x1)-f(x2)=x1方+1-x2方-1=x1方-x2方>0
所以 f(x1)-f(x2)>0 而x1-x2<0 所以是减函数

第二种方法求导 f(x)的导f(x)'=2x 因在此区间上，所以都是负数，所以f(x)'在区间上恒小于零
因此原命题成立

Answer 2

f﹙x﹚’=2x在﹙﹣∞,0﹚f﹙x﹚’=2x＜0
所以f﹙x﹚＝x²＋1在﹙﹣∞,0﹚上是减函数
或用以下方法
在﹙﹣∞,0﹚任取x1,x2令x1＜x2
f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=x1²-x2²=(x1-x2)(x1＋x2)
因为x1＜x2＜0
所以f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=x1²-x2²=(x1-x2)(x1＋x2)＞0
即f﹙x1﹚＞f﹙x2﹚所以f﹙x﹚＝x²＋1在﹙﹣∞,0﹚上是减函数

Answer 3

这么简单
取在﹙﹣∞,0﹚上两个点 x1＞x2
f﹙x1﹚-f﹙x2﹚＝x1²＋1-x2²-1=x1²-x2²=（x1+x2）（x1-x2）
∵x1＞x2
∴f﹙x1﹚-f﹙x2﹚＜0
所以f﹙x﹚＝x²＋1在﹙﹣∞,0﹚上是减函数

Answer 4

对f（x）求导得到f ’（x）=2x
又因为定义域在﹙﹣∞,0﹚上，所以f（x）的导数恒为负
所以f（x）在﹙﹣∞,0﹚上是减函数。

Answer 5

证明：任取x1＜x2＜0，则有
f(x1)-f(x2)=x1²+1-(x2²+1)=x1²-x2²=(x1+x2)(x1-x2)
由x1＜x2＜0，易知
x1+x2＜0，x1-x2＜0
∴f(x1)-f(x2)＞0
即f(x1)＞f(x2)
∴f(x)在(-∞,0)上是减函数
原命题得证.