Question

已知a是抛物线y^2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,准线l与x轴交与点K,已知|AK|=√2|AF|,△AKF的面积为8

(1).求p的值; (2).过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1和l2,与抛物线相交得两条弦,两天弦的中点分别为G,H,求|GH|的最小值. (注:题目中的"√"为根号,"l1"中"l"是英文字母"L"的小写) 给个详细点的运算过程,谢谢!

Answer 1

[1]过A点做AF'平行与x轴，交准线于F’点， 那么由抛物线的定义有|AF|=|AF'|, 因为|AK|=√2|AF|，所以有|AK|=√2|AF'| 从而在直角△AF'K中cos∠F'AK=√2/2 所以∠F'AK=45°，于是p=|AF'|=|F'K|, 说明A点的纵坐标为p或者-p， 故此S△=p*p/2=8,于是p=4 [2]抛物线方程为y^2=8x,焦点为(-2,0) 设l1方程为y=k(x-2)， 那么l2方程是y=(-1/k)(x-2) 将y=k(x-2)与y^2=8x联立得到 k^2*x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0...(*) 有两个根，那么就有 △1=(4k^2+8)^2-4k^2*4k^2>0 得到4k^2+4>0.........（**） 显然，所以只要求k不为零即有l1与抛物线有两根 由韦达公式 那么其中点坐标为G(2+4/k^2,4/k) 将l2方程与抛物线方程联立,其实就是将(*)(**)中k换成-1/k即可，因为l1与l2的位置是等同的 所以同样有k不为0的要求,其中点坐标是 H(2+4k^2,-4k) |GH|^2=16/k^4+16k^4+16/k^2+16k^2 用两次均值不等式就可以得到最小值 |GH|^2>=2√(16*16）+2√(16*16)=64 所以GH最小为8 当16/k^2=16k^2时取到，此时k=1或者-1， 即两条直线是 y=x-2 y=-x-2

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