Question

已知函数f(x)=lnx+a/(x+1) (2)若f(x)在(0,+∞)上为增函数,判断关于x的方程f(x)=x²-2x+3的解的个数

如题
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Answer 1

f(x)=lnx+a/(x+1)
f'(x)=1/x-a/(x+1)²=[(x+1)²-ax]/x(x+1)²
f(x)在(0,+∞)上为增函数,则f'(x)恒大于0
∵x(x+1)²恒大于0
∴[(x+1)²-ax]恒大于0
x²+(2-a)x+1恒大于0
∵抛物线开口向上，
Δ=(2-a)²-4<0时，函数图像均在X轴上方，即函数值恒大于0
∴|2-a|<2
0<a<4
(2)f(x)=x²-2x+3=(x-1)²+2 恒大于0，
∴解的个数为0.
(f(x)=x²-2x+3,开口向上，对称轴x=1，在(1,+∞)为增函数，题目肯定有误。)

追问

题没问题，f(x)=x²-2x+3就是lnx+a/(x+1)=x²-2x+3,求解就是求两函数的交点个数

追答

令g(x)=x²-2x+3,
x∈(0,1)
g(x)单调递减，g(x)>g(1)=2
f(x)单调递增，f(x)0
∴x/2>lnx,
又∵a/(x+1)x²-2x+3-0.5x-1
∵x²-2.5x+2=(x-1.25)²+0.4375恒大于0
∴h(x)恒大于0，亦无解
∴两函数的交点个数为0.