Question

求一个代数公式的解析表达式

已知 L1=2, L2 = ... = L(k-2) = 1, L(k-1) = L (k ) =0, (L 表示下面公式里的lambda)。
想求一系列维数，公式是

请问结果有没有关于k的解析表达式？我手算了k=4，5，6，7的时候分别是19，42，81，120。
不是，是20，45，84，140，之前用python的除法被四舍五入了。

Answer 1

λ₁=2，λ₂=λ₃=⋯=λk₋₂=1, λk₋₁=λk=0
则当1≤i<j≤k时，∏表达式项共有(k-1)+(k-2)+⋯+2=k(k-1)/2项

而
①当1=i<j<k-1时，λi-λj=2-1=1，此时λi-λj+j-i=1+j-i，
(i,j)共有k-3个组合，j-i取值范围是1~k-3

②当1=i<k-1≤j≤k时，λi-λj=2-0=2，此时λi-λj+j-i=2+j-i，
(i,j)共有2个组合，j-i取值范围是k-2~k-1

③当1<i<j<k-1时，λi-λj=1-1=0，此时λi-λj+j-i=j-i，
(i,j)共有(k-4)+(k-3)+⋯+1=(k-4)(k-3)/2个组合，j-i取值范围是1~k-4

④当1<i<k-1≤j≤k时，λi-λj=1-0=1，此时λi-λj+j-i=1+j-i，
(i,j)共有2(k-3)个组合，j-i取值范围是1~k-2

⑤当k-1≤i<j≤k时，λi-λj=0-0=0，此时λi-λj+j-i=j-i，
(i,j)共有1个组合，j-i取值范围是1

则
∏(λi-λj+j-i)/(j-i)
=∏(1+j-i)/(j-i) (k-3项)

*∏(2+j-i)/(j-i) (2项)
*∏(j-i)/(j-i) ((k-4)(k-3)/2项)
*∏(1+j-i)/(j-i) (2(k-3)项)
*∏(j-i)/(j-i) (1项)

=∏(1+j-i)/(j-i) (k-3项，j-i取值范围是1~k-3)
*∏(2+j-i)/(j-i) (2项，j-i取值范围是k-2~k-1)
*∏(1+j-i)/(j-i) (2(k-3)项，j-i取值范围是1~k-2)

=∏(1+j-i)/(j-i) (k-3项，j-i取值范围是1~k-3)
*k(k+1)/(k-2)(k-1)
*∏(1+j-i)/(j-i) (2(k-3)项，j-i取值范围是1~k-2)

=∏(1+j-i)/(j-i) (k-3项，j-i取值范围是1~k-3，此时i=1)
*∏(1+j-i)/(j-i) (2(k-3)项，j-i取值范围是1~k-2, 此时j取值范围是k-1~k)
*k(k+1)/(k-2)(k-1)

=(k-2)
*∏(1+j-i)/(j-i) (k-3项，j-i取值范围是1~k-3, 此时j=k-1)
*∏(1+j-i)/(j-i) (k-3项，j-i取值范围是2~k-2, 此时j=k)
*k(k+1)/(k-2)(k-1)

=
∏(1+j-i)/(j-i) (k-3项，j-i取值范围是1~k-3, 此时j=k-1)
*∏(1+j-i)/(j-i) (k-3项，j-i取值范围是2~k-2, 此时j=k)
*k(k+1)/(k-1)

=
(k-2)
*(k-1)/2
*k(k+1)/(k-1)

=(k-2)k(k+1)/2

验证一下，当k=4时，∏=20
，当k=5时，∏=45
，当k=6时，∏=84
，当k=7时，∏=140