Question

关于x的二次方程x^2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解，则实数m的范围是多少？

Answer 1

1.二次方程有一个实数解
（m-1)^2-4=0
(m-1)^2=4
m-1=+-2
m=3orm=-1
m=3,x^2+2x+1=0
(x+1)^2=0
x=-1,/=[0,2]
舍去
2.m=-1,x^2-2x+1=0
(x-1)^2=0
x=1=[0,2]
m=-1
2.有两个不相等的解
（m-1)^2-4>0
(m-1)^2>4
m-1>2orm-1<-2
m>3orm<-1
1.在[0,2]上有一个解
f(0)f(2)<=0
m<=-3/2
m<=-3/2
2.有两个解在区间[0,2]上
f(0)>0
f(2)>=0
m>=-3/2
-3/2<=m<-1orm>3
所以，m<=-1orm>3

Answer 2

(1)设f(x)=x^2+(m-1)x+1
∵f(0)=1＞0
∴要使关于x的二次方程x^2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解
只要满足f(2)≤0即可
4+2m-2+1≤0
∴m≤3/2
（2）f(x)=0在区间[0,2]上有二解（含重根）
(i) Δ=(m-1)²-4≥0-------------->m≥3或m≤-1
(ii)对称轴x=(1-m)/2在[0,2]上--->-3≤m≤1
(iii)f(0)≥0且f(2)≥0---------->m≥-3/2
求交集--->-3/2≤m≤-1
综合(1)(2)--->m≤-1，
所以m的取值范围为｛m|m≤-1｝

Answer 3

因为开口向上，与y轴交点为（0，1），在X轴上方
首先有辨别式>=0所以，（m-1）^2-4>=0,所以，m>=3或者m<=-1
所以，对称轴x=(1-m)/2>=1或者<=-1
若m>3那么对称轴<=-1,在[0,2]上有解不可能，
所以只能有m<=-1，此时，对称轴x=(1-m)/2>=1，又图像与y轴交点为（0，1），所以，不可能在[0,2]上有两个交点，所以只能有一个交点，所以，应满足f(2)<=0,所以，
4+2（m-1）+1<=0,所以，m<=-3/2,又m<=-1，所以，综上m<=-3/2

Answer 4

有两不同解的情况：
令：f(x) = x²+(m-1)x+1
（1）f(x)=0在区间[0,2]上有一解（非重根）
--->f(0)•f(2)≤0，即：1•(2m+3)≤0 --->m≤-3/2

（2）f(x)=0在区间[0,2]上有二解（含重根）
--->(i) Δ=(m-1)²-4≥0-------------->m≥3或m≤-1
(ii)对称轴x=(1-m)/2在[0,2]上--->-3≤m≤1
(iii)f(0)≥0且f(2)≥0---------->m≥-3/2
求交集--->-3/2≤m≤-1
综合(1)(2)--->m≤-1，
所以m的取值范围为｛m|m≤-1｝