Question

计算三重积分∫∫∫z^2dxdydz,其中积分区域是由椭球面x^2\a^2+y^2\b^2+z^2\c^2=1所围成的空间闭区域。

望用先计算一个二重积分再计算一个定积分的方法来做。谢谢！

Answer 1

可以用截面裂简法解决。

空间区域可表示为{(x,y,z)|x^2/a^2+y^2/b^2<=1-z^2/c^2,-c<=z<=c}

作截面D是竖坐标为z的平面截空间区域所得到的平面闭区域

则∫∫∫z^2dxdydz=∫[-c,c]z^2dz∫∫[D]dxdy

=πab∫[-c,c](1-z^2/c^2)z^2dz

=(4πabc^3)/15

直角坐标系法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

（1）先一后二法弊源搜投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：租历对积分区域Ω无限制；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

（2）先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

Answer 2

这个题就是同济《高等数学》第十章第三节三重积分的例2，
书上就是蚂铅用先计算一个二重积分再计算一个定积答袜分的清物激方法来做的，
如果是同济第5版，就在下册P101。

Answer 3