Question

已知f(x)是定义在R上的增函数，对任意x属于R有f(x)>0,且f(5)=1,设F(x)=f(x)+1/f(x),讨论F(x)的单调性，...

已知f(x)是定义在R上的增函数，对任意x属于R有f(x)>0,且f(5)=1,设F(x)=f(x)+1/f(x),讨论F(x)的单调性，并证明你的结论

Answer 1

y=F(x)=f(x)+1/f(x)可拆成，
y=t+1/t
t=f(x) (单调增)
根据对勾函数的性质，y≥2√t*(1/t)=2
当且仅当t=1/t,即t=1时，取等号，因此推测
外部函数y=t+1/t在（0，1）上单调减，在
（1，+∞）上单调减，然而也推测复合函数F(X)在（-∞，5）上单调减，
在（5，+∞）上单调增：
证明：
（1）
当x1<x2<5时，因为函数f(x)在R上单调增，
0<f(x1)<f(x2)<f(5)=1
即0<t1<t2<1
y1-y2=(t1-t2)+(1/t1-1/t2)=(t1-t2)+(t2-t1)/t1t2
=(t1-t2)(t1t2-1)/t1t2
因为0<t1<t2<1; 所以(t1-t2)<0;t1t2-1<0;t1t2>0
y1-y2>0
y1>y2
所以函数F(X)在（-∞，5）上单调减
（2）
当5<x1<x2时，因为函数f(x)在R上单调增，
1=f(5)<f(x1)<f(x2)
即1<t1<t2
y1-y2=(t1-t2)+(1/t1-1/t2)=(t1-t2)+(t2-t1)/t1t2
=(t1-t2)(t1t2-1)/t1t2
因为1<t1<t2; 所以(t1-t2)<0;t1t2-1>0;t1t2>0
y1-y2<0
y1<y2
所以函数F(X)在（5,+∞）上单调增

Answer 2

因为双钩线函数y=t+1/t在(0,1)上减,在(1,+无穷大)上增
又因为f(x)是定义域R上的增函数x属于R则f(x)>0且f(5)=1
所以当x>5时,f(x)>1,当x<5时,0<f(x)<1
所以F(x)=f(x)+1/f(x)的
增区间为(5,+无穷大),减区间为(-无穷大,5)