Question

求问一道高中数学题，麻烦好心的各位同学帮忙看下~谢谢额

设△ABC是锐角三角型，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，角A为A=π/3 并且sni^2A=sin(π/3+B)sin (π/3－B)+sin^2B ，若向量AB与AC的数量积为12，a=2√7，求b，c(其中b<c)。
下面是解题过程：由题可得，cbcosA=12 ，即cb=24，由余弦定理知a²=b²+c²-2bccosA ，将a=2√7及①代入可得c²+b²=52③ ，③+②×2，得（c+b）²=100，所以c+b=10。
因此，c，b是一元二次方程t²-10t+24=0的两根 ，解此方程并由c＞b知c=6，b=4。
请问各位大大们，这里的方程t²-10t+24=0怎么来的，我有点看糊涂了~

Answer 1

解：方程t²-10t+24=0是由cb=24和c+b=10来的，韦达定理的反用，
韦达定理：一元二次方程的 两根之和为：-b/a;两根之积为：c/a
即可得到方程解为b,c 的t²-10t+24=0

其实没有必要构成方程也行，由cb=24和c+b=10 且b<c
b=10-c 代入cb=24
10c-c*c=24
(c-6)(c-4)=0
c=6 或者c=4
当c=6时，b=4
当c=4时，b=6（舍去，因为b<c）

Answer 2

根据已算出的cb＝24；c+b＝10可以推出方程t的平方-10t+24＝0

Answer 3

其实用韦达定理反用行，这里的t可指b或c，只不过将b，c同化啦，换元也可以。以后动手画画

Answer 4

根据方程ax2-bx+c=0两根之和x1+x2=-b/a,两根之积x1*x2=c/a。所以bc=24是两根之积，c+b=10是两根之和。故方程为x2-10t+24=0，懂？