Question

一道高中数学数列题！

等差数列｛an｝的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，数列｛bn｝为等比数列，b1=1且b2×S2＝64 ，b3×S3=960。求和1/S1+1/S2+........+1/Sn。

Answer 1

解：（1）设公差为d，公比为q

由题意可知

S2=a1+a2=2a1+d=6+d

S3=a1+a2+a3=3a1+3d=9+3d

b2=q b3=q^2

解方程组 q(6+d)=64
q^2(9+3d)=960

解得 d=2 或 d=-128/3(不合题意舍去）
q=8 q=40/3

所以{an}的通项公式为 an=3+2(n-1)

{bn}的通项公式 bn=q^(n-1)

由等差数列前n和的公式可知

S1=3，S2=8，S3=15,S4=24,....,S(n-1)=[(n-1)(n+1)], Sn=n(n+2)

所以
1/S1+1/S2+……+1/S(n-1)+1/Sn

=1/3+1/(2×4)+.....+1/[n(n+2)]

=1/2×2/3+1/2×(1/2-1/4)+....+1/2×[1/n-1/(n+2)]

=1/2[2/3+1/2-1/4+......+1/n-1/(n+2)]

=1/2[2/3-1/(n+1)-1/(n+2)]

=(n^2-3n+6)/(6n^2+18n+12)

Answer 2

因为等差数列｛an｝，设其公差为d(d>0)，前n项和Sn=3n+0.5n(n-1)d
所以S2=6+d,S3=9+3d
因为数列｛bn｝为等比数列，b1=1，设其公比为q，b2=q,b3=q*q
所以b2*S2=q(6+d)=64……①,
b3*S3=q*q(9+3d)=960，即q*q(3+d)=320……②
由①②求得：d=-6/5(舍去)或d=2
所以Sn=3n+0.5n(n-1)*2=n(n+2)
所以1/Sn=1/[n(n+2)]=1/n - 1/(n+2)
所以1/S1+1/S2+........+1/Sn
=1-1/3 + 1/2-1/4 + 1/3-1/5 + …… + 1/(n-1)-1/(n+1) + 1/n-1/(n+2)
=1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)
=3/2 - (2n+3)/(n+1)(n+2)

Answer 3

a1+a1+d=s2
b2=q
(6+d)q=64
同上
（9+2d）q方=960
解得d=3
sn=3/2*n(n+1)
1/S1+1/S2+........+1/Sn=2/3[1/(1*2)+1/(2*3)+.....+1/n*(n+1)]
=2/3(1/1-1/2+1/2-1/3+.....1/n-1/n+1)=2/3(1-1/n+1)=2n/(3n+3)

Answer 4

高中最喜欢学的就是这个了。。。
解：（1）设公差为d，公比为q
由题意可知 S2=a1+a2=2a1+d=6+d S3=a1+a2+a3=3a1+3d=9+3d
b2=q b3=q^2
解方程组 q(6+d)=64
q^2(9+3d)=960
d=2 或 d=-128/3(不合题意舍去）
q=8 q=40/3

所以{an}的通项公式为 an=3+2(n-1)
{bn}的通项公式 bn=q^(n-1)
由等差数列前n和的公式可知
S1=3，S2=8，S3=15,S4=24,....,S(n-1)=[(n-1)(n+1)], Sn=n(n+2)
所以
1/S1+1/S2+……+1/S(n-1)+1/Sn
=1/3+1/(2×4)+.....+1/[n(n+2)]=1/2×2/3+1/2×(1/2-1/4)+....+1/2×[1/n-1/(n+2)]
=1/2[2/3+1/2-1/4+......+1/n-1/(n+2)]
=1/2[2/3-1/(n+1)-1/(n+2)]
=(n^2-3n+6)/(6n^2+18n+12)

Answer 5

s2=a1+a2=a1+a1+d=6+d
b2=q*1=q
b3=q*q
(6+d)q=64
同上
（9+3d）*q*q=960
解得d=2
q=8
(还有一组解，因d为负数舍去）
an=a1+(n-1)*2
Sn=a1+ a2+ ……+an=n*a1+2*(1+2+……+n-1)=n*(n+2)
1/Sn=1/2*(1/n-1/(n+2))
所以：1/S1+1/S2+........+1/Sn=1/2(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7……-1/(n+2))
=1/2*(1-1/(n+2))=(n+1)/(2n+4)

Answer 6

另：这道题可以列入高考题目范围，没有什么地方超标了，涉及到的知识有数列、函数单调性、数学归纳法的证明，反证法的用法等，综合性较强，不过最后一问难度