Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2-3x ，在点(1,f(1))处切线方程y+2=0

若过点M（2,m)(m不等于2），可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围

Answer 1

f(x)ˊ=3ax^2+2bx-3由题得f(1)ˊ=0即3a+2b-3=0 a=1

f(1)=-2即a+b-3=-2 联立得 b=0 原式为f(x)=x^3-3x
f(x)ˊ=3x^2-3 故过（x,f(x))的切线的斜率为 f(x)ˊ=3x^2-3
设点（x,f(x))的切线为y= f(x)ˊx+b则必过点（x,f(x))将点（x,f(x))代入得x^3-3x=（3x^2-3）x+b
得b=-2x^3即切线方程为y= f(x)ˊx-2x^3
将点M（2,m)代入切线y= f(x)ˊx-2x^3得 m=2(3x^2-3 )-2x^3化简为2x^3-6x^2+6+m=0
由题可知方程2x^3-6x^2+6+m=0有三个不同的解可理解为它的最小值小于0最大值大于0
令g(x)=2x^3-6x^2+6+m g(x)ˊ=6x^2-12x=0得x=0或2经判断g(x)在x=0时g(x)取得最大值为6+m。在x=2时g(x) 取得最小值为m-2
6+m>0
m-2<0 得-6<m<2
所以m的取值范围为-6<m<2

Answer 2

易知a=1，b=0设切点坐标为（x0,y0) 切线方程为y-yo=(3x0^2-3)(x-x0)把x=2，y=m，y0=x0^3-3x0带入得m=-2xo^3+6x0^2-6 令f(x)=-2x^3+6x^2-6 f'(x)=-6x^2+12x 显然f(x)在（负无穷，0），（2，正无穷）单调递减，在（0,2）单调递增。可做f(x)的三条切线，意味着y=m与f(x)有3个交点，f（0）<m<f(2),即-6<m<2