Question

2013考研关于求微分方程通解化简问题！

前面的都看明白了，请问红色部分箭头指向是怎么化简得到的!

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Answer 1

令 arctany=u ,arctanx=v
则 y=tanu , x=tanv
tan(arctany-arctanx)=tan(u-v)=(tanu-tanv)/[1+tanu*tanv]=(y-x)/(1+xy)
第二个：
sec(arctany-arctanx)
=sec(u-v)
=1/cos(u-v)
=1/(cosucosv+sinusinv)
其中 cosu=1/√(1+y^2)
cosv=1/√(1+x^2)
sinu=y/√(1+y^2)
sinv=x/√(1+x^2)
所以：cosucosv+sinusinv=1/√[(1+y^2)(1+x^2)]+xy/√[(1+y^2)(1+x^2)]
=(1+xy)/√[(1+y^2)(1+x^2)]
=(1+xy)/√[1+x^2+y^2+(xy)^2]
=(1+xy)/√[(1+xy)^2+(y-x)^2]
所以
1/(cosucosv+sinusinv)=√[(1+xy)^2+(y-x)^2]/(1+xy)
即
sec(arctany-arctanx)=√[(1+xy)^2+(y-x)^2]/(1+xy)

Answer 2

令 arctany=u ,arctanx=v
则 y=tanu , x=tanv
tan(arctany-arctanx)=tan(u-v)=(tanu-tanv)/[1+tanu*tanv]=(y-x)/(1+xy) 三角公式还记得吧！
后面一个类推。。。

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