Question

设函数f(x)=lg(2/1-x-a)是奇函数则使fx﹤0的x的取值范围

Answer 1

　　x的范围是(0,1)
　　一、解：由f(x)是奇函数
　　则f(-x)=-f(x)
　　则lg(2/(1+x)-a)=-lg(2/(1-x)-a)
　　则2/(1+x)-a=1/[(2/(1-x)-a)]
　　即[2/(1+x)-a][(2/(1-x)-a)]=1
　　即4-4a+a^2(1-x^2)=1-x^2
　　∴(1-a^2)x^2+a^2-4a+3=0
　　∴1-a^2=0且a^2-4a+3=0
　　解得：a=1
　　故，f(x)=lg(2/(1-x)-1)
　　=lg(1+x)/(1-x)
　　又根据f(x)＞0
　　知lg(1+x)/(1-x)＞0=lg(1)
　　∴(1+x)/(1-x)＞1
　　即：1+x＞1-x
　　解得：x＞0
　　综上，f(x)＞0时，x的范围是(0,1)
　　二、函数奇偶性的定义及证明方法：
　　(1)用定义：若函数的定义域不是关于原点对称，则函数非奇非偶；
　　若函数的定义域关于原点对称，则如果f(-x)=f(x),函数f(x)为偶函数；如果f(-x)=-f(x)，函数为奇函数，有时不太好判断时，看是f(-x)-f(x)=0还是f(-x)+f(x)=0，前一种情况为偶函数，后一种情况为奇函数
　　（2）奇函数+奇函数=奇函数，奇函数乘（或除）奇函数=偶函数 ，偶函数+（-）偶函数=偶函数，偶函数乘（或除）偶函数=偶函数 ，奇函数乘（或除）偶函数=奇函数
　　（3）奇（偶）函数的导函数为偶（奇）函数。奇函数的原函数是偶函数。偶函数的原函数中有一个是奇函数。
　　（4）一般来说，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，在定义域内奇函数中f(0)=0恒成立。

Answer 2

繁琐的一般解法
解由f(x)是奇函数
则f(-x)=-f(x)
则lg(2/(1+x)-a)=-lg(2/(1-x)-a)
则2/(1+x)-a=1/[(2/(1-x)-a)]
即[2/(1+x)-a][(2/(1-x)-a)]=1
即4/(1-x^2)-2a/(1+x)-2a/(1-x)+a^2=1
即4/(1-x^2)-[2a(1-x)+2a(1-x)]/(1-x^2)+a^2=1
即4/(1-x^2)-4a/(1-x^2)+a^2=1
即4-4a+a^2(1-x^2)=1-x^2
即(1-a^2)x^2+a^2-4a+3=0
即1-a^2=0且a^2-4a+3=0
即a^2=1且(a-3)(a-1)=0
解得a=1
故f(x)=lg(2/(1-x)-1)
=lg(1+x)/(1-x).....(该函数的定义域为(-1,1))
又由f(x)＞0
知lg(1+x)/(1-x)＞0=lg(1)
即(1+x)/(1-x)＞1
即1+x＞1-x
即2x＞0
即x＞0
故f(x)＞0时x的范围是(0,1)