Question

在△ABC中,求证:ab+bc+ac≤a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ac).

Answer 1

简单证明：
由基本不等式2ab≤a²+b²,2bc≤b²+c²,2ac≤a²+c²相加整理得
得ab+bc+ac≤a²+b²+c²,
在△中，由两边和大于第三边，得a+b>c,b+c>a,a+c>b
得c(a+b)>c²,a(b+c)>a²,b(a+c)>b²
相加整理得：a²+b²+c²<2ab+2bc+2ac
故ab+bc+ac≤a²+b²+c²<2ab+2bc+2ac

Answer 2

先证右边：
利用两边之和大于第三边可以写出下面三个不等式
a-b<c, a-c<b, b-c<a
(a-b)^2<c^2, (a-c)^2<b^2, (b-c)^2<a^2
a^2+b^2-2ab<c^2, a^2+c^2-2ac<b^2, b^2+c^2-2bc<a^2
全部加起来就可以化简出a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ac）
再证左边：
∵（a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc≥0
∴a²+b²+c²≥ab+ac+bc
∴ab+bc+ac≤a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ac).

Answer 3

2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0
∴a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)>=0
∴a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac

a-b<c (a-b)^2<c^2
a-c<b (a-c)^2<b^2
b-c<a (b-c)^2<a^2
三式相加可得 a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ac)