Question

已知函数f(x)=(x^2+ax+1)e^x,g(x)=2x^3-3x^2+a+2,其中a<0,当x【-1,1】,f(x)的最小值不小于g(x)的最大值

求实数a的取值范围

Answer 1

g'(x)=6x(x-1),故g(X)在[-1,0]上增，在[0,1]上减，最大值为g(0)=a+2;
令f'(x)=e^x(x+1)(x+a+1)=0,x=-1或-1-a；f(x)最小值f(-1)=(2-a)/e
或f(-1-a)=(2+a)e^(-1-a)
或 f(1)=(2+a)e
(2-a)/e>=a+2
(2+a)e^(-1-a)>=a+2
(2+a)e>=a+2
解得a<=-1

Answer 2

f'(x)=(2x+a+x^2+ax+1)e^x=[x^2+(a+2)x+a+1]e^x=(x+1)(x+a+1)e^x,
a<0,-1<x<-1-a时f'(x)<0,f(x)↓；
x>-1-a时f'(x)>0,f(x)↑。
∴-1-a<=1,即-2<=a<0时m=f(-1-a)=(2+a)e^(-1-a);
a<-2时m=f(1)=(2+a)e.
g'(x)=6x^2-6x=6x(x-1),
0<x<1时g'(x)<0,g(x)↓；
x<0时g'(x)>0,g(x)↑。
∴M=g(0)=a+2,
∴m-M={(2+a)(e-1)<0,a<-2,不合题意;
............{(2+a)[e^(-1-a)-1]>=0,-2<=a<0.
由下面不等式得-1-a>=0,-2<=a<=-1.
综上，-2<=a<=-1