Question

证明：（x+y+z)^3xyz-(yz+zx+xy)^3=xyz(x^3+y^3+z^3)-(y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3) 求解法！！谢谢。。。

Answer 1

前面“战马1937”的证明，是由结论证明结论，没说清楚。应该是：
要证明：（x+y+z)^3xyz-(yz+zx+xy)^3=xyz(x^3+y^3+z^3)-(y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3) --- ①
即证明：（x+y+z)^3xyz-xyz(x^3+y^3+z^3)＝(yz+zx+xy)^3-(y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3) －－－②
②左式＝xyz((x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3))=xyz(3xy^2+3xz^2+3x^2y+3Y^2z+3yz^2+3x^2z)
=3xyz(xy^2+xz^2+x^2y+y^2z+yz^2+x^2z)
令xy=a,yz=b,zx=c,并代入上式，得：
②左式＝3（a^2b+bc^2+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2）
②右式＝(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)=3(ab^2+ac^2+a^2b+b^2c+bc^2+a^2c)＝左式
∴②式成立，∴原式成立。

Answer 2

证明：∵（x+y+z）3xyz-（yz+zx+xy）3=xyz（x3+y3+z3）-（y3z3+z3x3+x3y3）
∴xyz[（x+y+z）3-（x3+y3+z3）]=（yz+zx+xy）3）-（y3z3+z3x3+x3y3）
∴xyz[（x3+y3+z3+3x2y+3xy2+3xz2 +3y2z +3yz2+6xyz）-（x3+y3+z3）]，
=（y3z3+z3x3+x3y3+3y2z3x+3z3x2y+3y2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x2）-（y3z3+z3x3+x3y3），
∴xyz（3x2y+3xy2+3xz2 +3y2z +3yz2+6xyz）=3y2z3x+3z3x2y+3y2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x2
∴（3x3y2z+3x2y3z+3x2z3y+3y3z2x+3y2z3x+6x2y2z2=3y2z3x+3z3x2y+3y2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x2
∴（3x3y2z+3x2y3z+3x2z3y+3y3z2x+3y2z3x+6x2y2z2-3y2z3x-3z3x2y-3y2zx2-3z2x3y--6y2z2x2=0
∴（x+y+z）3xyz-（yz+zx+xy）3=xyz（x3+y3+z3）-（y3z3+z3x3+x3y3）．