Question

已知圆M的方程为：x²+y²-2x-2y-6=0,以坐标原点为圆心的圆O与圆M相切

已知圆M的方程为：x²+y²-2x-2y-6=0,以坐标原点为圆心的圆O与圆M相切
1。 求圆O方程
2. 圆O与X轴交于E。F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，求DE向量点乘DF向量的取值范围

Answer 1

圆M的方程为：x²+y²-2x-2y-6=0，即（x-1)^2+(y-1)^2=8,
圆心M(1,1),半径r=2√2.
1.设圆O的半径为R,点O在圆M内部，
∴圆O与圆M相切即圆O与圆M内切，
∴|R-2√2|=|OM|=√2，
∴R-2√2=土√2，R=3√2或√2，
∴圆O的方程为x^2+y^2=18,或x^2+y^2=2.
2.圆O的方程为x^2+y^2=18时，E(3√2,0）F(-3√2,0），
设圆内的动点D为(tcosa,tsina),0<=t<3√2，
|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，
<==>|DO|^2=|DE|*|DF|,
<==>t^2=√{[tcosa-3√2)^2+(tsina)^2][tcosa+3√2)^2+(tsina)^2]}
=√{[t^2+18-6√2tcosa][t^2+18+6√2tcosa]]
=√[(t^2+18)^2-72t^2cos^a],
平方得t^4=t^4+36t^2+324-72t^2cos^a,
(2cos^a-1)t^2=6,
t^2=6/cos2a,
向量DE*DF=(3√2-tcosa,-tsina)*(-3√2-tcosa,-tsina)
=-18+t^2=-18+6/cos2a,
cos2a∈[-1,0)∪(0,1],
6/cos2a∈（-∞，-6]∪[6,+∞），
∴向量DE*DF的取值范围是（-∞，-24]∪[-12,+∞）。
另一种情况，留给您作为练习。