Question

12.若函数 满足 ,当 时, ,若在区间 上, 有两个零点,则实数 的取值范围是 ( )

答案是D

Answer 1

解析，
由于，x∈(0,1]时，f(x)=x
如果x∈(-1,0]，那么(x+1)∈(0,1]
故，f(x+1)=x+1，
又1/[f(x+1)]=f(x)+1，那么f(x+1)=1/[f(x)+1]=x+1
因此，f(x)=-x/(x+1)，x∈(-1,0]
g(x)=f(x)-mx-m有两个零点，分两种情况分析：
【1】当x∈(-1,0]时，g(x)=-x/(x+1)-m(x+1)=-1/(x+1)*[m(x+1)²+x]
设g(x)=0，也就是，m(x+1)²+x=0
再设t(x)=m(x+1)²+x，g(x)在x∈(-1,0]内有两个零点，也就是t(x)有两个零点，
m=0时，t(x)有一个零点，那么g(x)有一个零点
m<0时，t(0)=m<0，t(-1)=-1<0，故，t(x)恒有两个零点，那么g(x)也恒有两个零点。
m>0时，t(0)=m>0，t(-1)=-1<0，故，t(x)恒有一个零点，那么g(x)也恒有一个零点。
【备注，根据函数的图像的性质】
【2】当x∈(0,1]时，g(x)=x-mx-m=x(1-m)-m
1，当m=0时，g(x)=x，没有零点，
2，当m<0时，g(0)=-m<0且g(1)=-2m+1>0，g(x)在（0,1】内恒有一个零点、
3，当0<m<1时，如果g(0)=-m<0且g(1)=-2m+1≥0，
也就是，0<m≤1/2时，g(x)有一个零点，
那么，在1/2<m<1，g(x)没有零点。
4，当m≥1时，g(0)=-m<0，g(1)=-2m+1<0，也就是说g（x）没有零点。
综上分析，
m<0时，g(x)在定义域内有三个零点。
m=0时，g(x)在定义域内只有一个零点。
0<m≤1/2时，g(x)在定义域内有两个零点。
m>1/2时，g(x)在定义域内有一个零点。
因此，选择D。
【备注】考虑到，本题是选择题，那么直接用代人法，取m=0，m=1/2代人，
m=0，不符合题意，m=1/2符合题意，直接就选出了D答案。