Question

已知函数f(x-2)=ax^2-(a-3)x+

已知函数y=f(x)的图像过点(m-2,0), 并且f(x-2)=ax2-(a-3)x+(a-2),其中a为负整数,设g（x）=f（f（x））， 已知函数y=f(x)的图像过点(m-2,0), 并且f(x-2)=ax2-(a-3)x+(a-2),其中a为负整数,设g（x）=f（f（x）），F（x）=pg（x）-4f(x). 求f（x）表达式 是否存在正实数p，使F(x)在（-∞，f(2)]上是增函数，且在[f(2),0]上是减函数？若存在，求出p；若不存在，说明理由。

Answer 1

f(x-2)=ax2-(a-3)x+(a-2),令x=m，则
f（m-2)=am²-(a-3)m+(a-2)=0
∵m∈R
∴(a-3)²-4a(a-2)≥0
即3a²-2a-9≤0
∴﹙1－2√7﹚/3≤a≤﹙1＋2√7﹚/3
∵a为负整数
∴a=-1
∴f(x-2)=﹣x2＋4x-3
令x-2=t，则x=t+2
∴f（t)=-t²-4t-4+4t+8-3=﹣t²+1
∴f(x)=﹣x²+1
g（x）=f（f（x））=-（-x²+1）²+1=-x^4+2x²
F（x）=pg（x）-4f(x)=-px^4+2px²+4x²-4
即F（x）=-px^4+(2p+4)x²-4
F'（x）=-4px³+(4p+8)x
令-4px³+(4p+8)x＞0
x(-4px²+4p+8) ＞0
x＜-√(4p+8)/4p或0＜x＜√(4p+8)/4p
∴F（x）在（﹣∞，-√(4p+8)/4p] ∪[0，√(4p+8)/4p ]递增，在[-√(4p+8)/4p，0] ∪[√(4p+8)/4p，﹢∞﹚递减
∴-√(4p+8)/4p=f(2)=-3，则p=1/4
∴存在正实数p=1/4，使F(x)在（-∞，f(2)]上是增函数，且在[f(2),0]上是减函数.

Answer 2

先将点（m-2,0)带入f(x-2)中得到a的值，同时对其求导函数，另其等于0，求出f(x).然后计算g(x)。下来对F(X),求导，利用导函数的单调性即和0比较，＞0是增函数，假设p存在将f(2)带入，进行验证

Answer 3

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