Question

1.（1）求函数y=|x+1|+|x+2|的最小值 （2）求函数y=2x^2+4x+7/x^2+2x+3的最大值

1.（1）求函数y=|x+1|+|x+2|的最小值
（2）求函数y=2x^2+4x+7/x^2+2x+3的最大值

Answer 1

像这种求绝对值的最值问题没必要进行分类讨论，而且你的问题在高考会出现也只可能出现在选择或填空题中，下面介绍这两题的最佳解法。即快有准，肯定能更胜一筹。
（1） 首先，我们要明白一个思想： 在 数轴 上的一点 x 到数轴上一定点 a 的距离
d=|x－a|
所以 y=|x+1|+|x+2| =|x－（-1）|+|x－（-2）|
所以 y 就可以看成是数轴上的点 x 分别到点 -1，-2 的距离之和的最小值，
划出数轴，很明显可得出 最小值为 1
同时也可得出，当 y 取最小值时，x 的取值范围 （-2，-1）
这个方法是解这类问题的最佳方法，题干中 任意一个 加号 改为 减号 也是用这种方法。
（2）这是一道有理函数题，像这种题目，出题者的意图不是想让考生真的去求导，而是考察考生的灵活度。（下面x后的2，()后的2，代表平方）
因为 x2+2x+3=(x+1)2+2 >2
所以 函数 y 的定义域为 R
y=2x2+4x+7/x2+2x+3
=(2x2+4x+6+1)/x2+2x+3
=[2*(x2+2x+3)+1]/x2+2x+3
=[2*(x2+2x+3)/x2+2x+3]+1/(x2+2x+3) （这一步是化简）
=2+1/(x2+2x+3) (将分母进行配方）
=2+1/[(x+1)2+2] (分母取最小，倒数后变为最大）
所以当 x=-1 时， y取最大值 2.5
还有什么问题继续问，我继续答。

Answer 2

解：
1.
分类讨论：
(1)
x≥-1时，y=x+1+x+2=2x+3≥-2+3=1
(2)
-2≤x<-1时，y=-x-1+x+2=1
(3)
x<-2时，y=-x-1-x-2=-2x-3>4-3=1
综上，得y≥1，函数的最小值是1。
2.
y=(2x²+4x+7)/(x²+2x+3)=[2(x²+2x+3)+1]/(x²+2x+3)
=2 +1/(x²+2x+3)
=2+1/[(x+1)²+2]
(x+1)²+2≥2，0<1/[(x+1)²+2]≤1/2
2<2+1/[(x+1)²+2]≤5/2
2<y≤5/2，函数的最大值是5/2。

Answer 3

(1)
x+1+x+2=2x+3 x≥-1
y=-x-1+x+2=1 -2≤x≤-1
-x-1-x-2=-2x-3 x≤-2
y≥1
ymin=1
(2)
y=2x²+4x+7/x²+2x+3

y=[2(x²+2x+3)+1]/x²+2x+3
=2+(1/x²+2x+3)
令x²+2x+3=g(x)
g(x)在(-∞,-1)单减(-1,+∞)单增
1/(x²+2x+3)=1/g(x)
1/g(x)在(-∞,-1)单增(-1,+∞)单减
[1/g(x)]max=1/2
ymax=5/2

Answer 4

(1.)1