Question

幂级数的和函数到底是怎么求的？书上的例题看来看去也不明白在干啥呀……

Answer 1

用求导及积分法比较好求：
记f(x)=∑x^(2n-1)/(2n-1)
求导得：f'(x)=∑x^(2n-2)
这样右端就可以求和了，f'(x)=1/(1-x²)=1/2[1/(1-x)+1/(1+x)]
积分，就得到f(x)=C+1/2[-ln(1-x)+ln(1+x)]
由于有f(0)=0, 因此得C=0
故f(x)=1/2ln[(1+x)/(1-x)]
而∑1/[(2n-1)2^n]=1/√2∑1/[(2n-1) (√2)^(2n-1)]
=1/√2 f(1/√2)
=1/√2*1/2*ln[(1+1/√2)/(1-1/√2)]
=1/√2*ln(√2+1)

追问

最后一步怎么化简的？

追答

ln里面的分子分母同时乘以√2后，化为(√2+1)/(√2-1)
再同时乘以(√2-1), 就化为(√2+1)² 了。