Question

已知数列an满足对任意的n∈N*，都有an>0,且a1^3+a2^3+......an^3=(a1+a2+......an)^2。

1.求a1,a2的值
2.求数列an的通项公式
3.设数列{1/anan+2}的前n项和为S，不等式Sn>1/3loga(1-a)对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

1）解：当n=1时，有a 1 3 =a 1 2 ，
由于a n ＞0，所以a 1 =1．
当n=2时，有a 1 3 +a 2 3 =（a 1 +a 2 ） 2 ，
将a 1 =1代入上式，由于a n ＞0，所以a 2 =2．
（2）解：由于a 1 3 +a 2 3 ++a n 3 =（a 1 +a 2 ++a n ） 2 ，①
则有a 1 3 +a 2 3 ++a n 3 +a n+1 3 =（a 1 +a 2 ++a n +a n+1 ） 2 ．②
②-①，得a n+1 3 =（a 1 +a 2 ++a n +a n+1 ） 2 -（a 1 +a 2 ++a n ） 2 ，
由于a n ＞0，所以a n+1 2 =2（a 1 +a 2 ++a n ）+a n+1 ．③
同样有a n 2 =2（a 1 +a 2 ++a n-1 ）+a n （n≥2），④
③-④，得a n+1 2 -a n 2 =a n+1 +a n ．
所以a n+1 -a n =1．
由于a 2 -a 1 =1，即当n≥1时都有a n+1 -a n =1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列．
故a n =n．

Answer 2

当n=1时，a1^3=a1^2 ,得a1=1
当n=2时，1+a2^3=(1+a2)^2 ,得a2=2
当满足Σan^3=(Σan)^2
Σa(n+1)^3=((Σan)+a(n+1))^2
Σan^3+a(n+1)^3=(Σan)^2+2a(n+1)Σan+a(n+1)^2
a(n+1)^3=2a(n+1)Σan+a(n+1)^2
a(n+1)^2-a(n+1)=2Σan
同理有an^2-an=2Σa(n-1)
两式相减有a(n+1)^2-an^2-a(n+1)+an=2an
a(n+1)^2-an^2=a(n+1)+an
得a(n+1)-an=1
递推有a(n+1)=n

第三问数列{1/anan+2}是什么意思

Answer 3

第1，2问他们都是对的，第3问
S=1／2【1／1－1／3 1／2－1／4 ··· 1／（n－1）－1／（n 1） 1／n－1／（n 2）
=1／2【1／1 1／2－1／（n 1）－1／（n 2）】
求出s的最小值b，b>1／3loga（1－a）
a∧3b<1－a，求出a的范围