Question

已知双曲线x²/a²—y²/b²=1（a>0,b>0),直线L过点A（-a,0)和（a,2kb）

（1）当k为何值时，直线L与双曲线的右半支无交点。
（2）若直线L与双曲线右半支交于C，求|AB|：|AC|

Answer 1

解答：
kAB=(2kb-0)/(a+a)=kb/a
（1）利用数形结合，
双曲线的渐近线为 y=±bx/a
直线L与双曲线的右半支无交点
所以 kb/a≥b/a或kb/a≤-b/a
所以 k≥1或k≤-1
（2）由（1）L与双曲线交于右支，则-1<k<1
直线L：y=(kb/a)(x+a)
代入双曲线方程
x²/a²-(k²/a²)(x+a)²=1
x²-k²(x+a)²=a²
(1-k²)x²-2k²ax-(k²a²+a²)=0 (***)
1-k²>0, k²a²+1>0
所以（***）有异号实根
一个根为-a， 另一个根为 2k²a/(1-k²)+a=(k²a+a)/(1-k²)
即 xC=(ka²+a)/(1-k²)
|AB|:|AC|
=|xB-xA|:|xC-xA|
=2a:|(k²a+a)/(1-k²)+a|
=2a: (k²a+2a-k²a)/(1-k²)
=1-k²

Answer 2

已知双曲线[x^2/a^2]-[y^2/b^2]=1 (a>0,b>0)直线l过点A(-a,0)和B(a,2kb)

(1)当k为何值时，直线l与双曲线的右半支无交点；
（2）若直线l与双曲线右半支交于C,求|AB|:|AC|

(1)由已知,双曲线渐进线方程为y=±b/ax直线l的斜率为
KAB=(2kb-0)/[a-(-a)]=kb/a
当直线l的斜率与渐进线的斜率相等时,直线l与双曲线的右半支无交点,既kb/a=±b/a,k=±1
进而可知,当1<=k<+无限大或-无限大<k<=-1时,直线l与双曲线的右半支无交点.
(2)由已知及(1)得直线l的方程为y=kb/a(x+a)
由{y=kb/a(x+a);(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1}得
(1-k^2)x^2-2ak^2x-a^2(k^2+1)=0
因为直线l过点A,所以此方程一根为-a,记x2为方程另一根,则
-a*x2=[-a^2(k^2+1)]/(1-k^2),x2=[a(k^2+1)]/(1-k^2)
由(1)知,当k^2<1时,l与双曲线右半支有交点,如图中点C,过点C作CQ⊥x轴于点Q,过双曲线的右顶点,R作RB⊥x轴交直线l于B.
由于|AQ|=a+|OQ|=a+x2=a+[a(k^2+1)]/(1-k^2),从而
(|AB|/|AC|)=(|AR|/|AQ|)=2a/{a+[a(k^2+1)]/1-k^2}
=1-k^2

请采纳

追问

活半仙！2分钟打这么多字！

追答

呵呵

Answer 3

(1)由已知,双曲线渐进线方程为y=±b/ax直线l的斜率为
KAB=(2kb-0)/[a-(-a)]=kb/a
当直线l的斜率与渐进线的斜率相等时,直线l与双曲线的右半支无交点,既kb/a=±b/a,k=±1
进而可知,当1<=k<+无限大或-无限大<k<=-1时,直线l与双曲线的右半支无交点.
(2)由已知及(1)得直线l的方程为y=kb/a(x+a)
由{y=kb/a(x+a);(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1}得
(1-k^2)x^2-2ak^2x-a^2(k^2+1)=0
因为直线l过点A,所以此方程一根为-a,记x2为方程另一根,则
-a*x2=[-a^2(k^2+1)]/(1-k^2),x2=[a(k^2+1)]/(1-k^2)
由(1)知,当k^2<1时,l与双曲线右半支有交点,如图中点C,过点C作CQ⊥x轴于点Q,过双曲线的右顶点,R作RB⊥x轴交直线l于B.
由于|AQ|=a+|OQ|=a+x2=a+[a(k^2+1)]/(1-k^2),从而
(|AB|/|AC|)=(|AR|/|AQ|)=2a/{a+[a(k^2+1)]/1-k^2}
=1-k^2