Question

高等数学三角函数极限问题求解

Answer 1

本题属于1的无穷次方类型，可用指数法做。
原式=lim(x→0) e^[(cotx^2)lncosx]
=lim(x→0) e^[lncosx/tanx^2]
=lim(x→0) e^[lncosx/x^2]（无穷小量等价代换）
=lim(x→0) e^[(-sinx/cosx)/2x]（洛必达法则，能少用尽量少用）
又当x→0时，1/cosx=1，sinx~x
于是，原式==lim(x→0) e^（-1/2）

Answer 2

取对数后不用洛必达法则也可做。
lim (cotx)^2lncosx＝lim (cotx)^2(cosx-1)，这里lncosx等价于cosx-1
＝lim (cosx)^2(cosx-1)/(sinx)^2
＝ lim (cosx-1)/(sinx)^2 cosx的极限是1
＝lim (-1)/(cosx+1) 三角恒等变形
=-1/2
所以原极限是e^(-1/2)

Answer 3

有指数的，取对数比较方便。
原极限=S，则lnS=（省略极限符号）=(cotx)^2lncosx
=lncosx/(tanx)^2
=（罗比达法则）=(-sinx/cosx)/[2tanx/(cosx)^2]
=-sinxcosx/2tanx
=（sinx等价于tanx）=-cosx/2=-1/2
所以S=e^(-1/2)

Answer 4

原式=lim(x->0) (1+(cosx-1))^((1/(cosx-1))*(cosx-1)*(cotx)^2)
=lim(x->0) (1+(cosx-1))^((1/(cosx-1))*(cosx-1)*(cosx/sinx)^2)
令t=cosx-1，则x->0与t->0等价.
将cosx=t+1代入
原式化为lim(t->0) (1+t)^((1/t)*t*(t+1)^2/(1-(t+1)^2)).
因为lim(t->0) (1+t)^(1/t)=e.
lim(t->0) t*(t+1)^2/(1-(t+1)^2)
=lim(t->0) t/(-t^2-2t)
=lim(t->0) 1/(-t-2)
=-1/2.
所以原式=e^(-1/2).

追问

因为lim(t->0) (1+t)^(1/t)=e.
lim(t->0) t*(t+1)^2/(1-(t+1)^2)
=lim(t->0) t/(-t^2-2t)
上一部怎么直接到的下一步啊