Question

几何题 高手来 谢！！！

如图，已知等边△ABC，D在BC延长线上，CE平分∠ACD，CE=BD，求△ADE是等边三角形

Answer 1

在CE上取点F使得CF=BD，先证三角形ADF是等边三角形，再证EF两点重合，所以三角形ADE也是等边三角形。
因为AB=AC,ABD=ACF=60°，CF=BD,所以三角形ABD和ACF全等，所以AD=AF,角BAD=CAF，BAD+DAC=CAF+DAC，即角BAC=DAF=60°，所以三角形DAF是等边三角形，角ADF=60°。但是角ADE=60°，所以F在直线AE上。且DF=AD=DE,所以EF重合，三角形ADE是等边三角形 证明：
∵等边△ABC中，CE平分∠ACD
∴AB=AC，∠B=∠ACE=60°
∵CE=BD
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=∠BAD-∠CAD=∠BAC=60°
∵AD=AE
∴△ADE是等边三角形

Answer 2

：∵CE平分∠ACD，
∴∠1=∠2=60°，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC，∠B=∠1，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
又∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE为等边三角形

追问

∠1 是哪个？？？

追答

∠1 ACE

∠2 ECD

Answer 3

在CE上取一点F，使CF = BC
由于△ABC为正三角形，CE平分∠ACD
AC = BC = CF
且∠ACE = 60
->△ACF也为正三角形

CE = CF +FE BD= BC+ CD
由于BC = CF ->FE = CD
同时 AF = AC ∠AFE = ∠ACD = 120
->△AFE 全等△ACD

->AD = AE ∠FAE = ∠CAD
又∠CAF = 60
∠CAE = ∠CAF +∠FAE = ∠CAF + ∠CAD = ∠CAD+∠DAE
->∠DAE = ∠CAF = 60

由于∠DAE = ∠CAF = 60 AD = AE
->△ADE为正三角形

Answer 4

∵△ABC是等边三角形
∴∠ACD=120°，AB=AC,∠ABC=∠ACN=∠BAC=60°
又∵CE平分∠ACD
所以∠ACE=∠DCE=60°=∠ABC
在△ABD和△ACE中
AB=AC,∠ABD=∠ACE,BD=CE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE
又∵∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD=∠BAC=∠DAE=60°
∴△ADE为等边三角形