Question

试讨论方程x^3-3ax+2=0(a>0)的解的个数

如题

Answer 1

令 f(x)=x^3-3ax+2 ，则 f '(x)=3x^2-3a ，
因为 a>0 ，所以令 f '(x)=0 得 x=±√a ，
当 x<-√a 时 f '(x)>0 ，当 -√a<x<√a 时，f '(x)<0 ，当 x>√a 时，f '(x)>0 ，
因此 f(x) 在（-∞，-√a）上为增函数，在（-√a，√a）上为减函数，在（√a，+∞）上为增函数，
所以，函数在 x=-√a 处取极大值 f(-√a)=2a√a+2>0 ，
函数在 x=√a 处取极小值 f(√a)=-2a√a+2 。
由 -2a√a+2=0 得 a=1 ，由 -2a√a+2>0 得 0<a<1 ，由 -2a√a+2<0 得 a>1 ，
故得
0<a<1 时，f(x)=0 有唯一解；
当 a=1 时，f(x)=0 有两解；
当 a>1 时，f(x)=0 有三个解。

追问

您这个"
由 -2a√a+2=0 得 a=1 ，由 -2a√a+2>0 得 01 ，
故得
01 时，f(x)=0 有三个解。"
这个没理解...能告诉我是怎么回事吗？小弟很笨...

追答

你应该画个草图。把左边看作一个函数，它是先增再减后增的函数，
由于 a>0 ，因此极大值为正数。
那个 -2a√a+2 是函数的极小值。当极小值为正时，图像与x轴只有唯一交点，
当极小值为0时，图像与x轴有两个交点，
当极小值为负时，图像与x轴有三个交点。

Answer 2

解：
方程判别式△=(-3a)²-4×1×2=9a²-8
△>0时，即9a²-8>0，也即a>2√2/3或a<-2√2/3时，方程有两不相等的实数根；
△=0时，即9a²-8=0，也即a=2√2/3或a=-2√2/3时，方程有两相等的实数根；
△<0时，即9a²-8<0，也即-2√2/3<a<2√2/3时，方程无实数根。
即：
a>2√2/3或a<-2√2/3时，方程的解的个数为2；
a=2√2/3或a=-2√2/3时，方程的解的个数为1；
-2√2/3<a<2√2/3时，方程的解的个数为0。

追问

这个不是二次方程，还能用根的判别式吗？

Answer 3

最简单，判别式结合图分析。