Question

如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE=60°．

（1）若D在BC上（如图1）求证CD+CE=CA
（2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．

Answer 1

（1）证明：在AC上取点F，使CF=CD，
∵∠ACB=60°，
∴△DCF为等边三角形．
∴∠3+∠4=∠4+∠5=60°．
∴∠3=∠5．
∵∠1+∠ADE=∠2+∠ACE，
∴∠1=∠2．
在△ADF和△ECD中，∠1=∠2，∠3=∠5，CD=DF，
∴△ADF≌△EDC．
∴CE=AF．
∴CD+CE=CF+AF=CA．
（2）解：CD、CE、CA满足CE+CA=CD；证明如下：
在CA延长线上取CF=CD，
∵∠ACD=60°，
∴△FCD为等边三角形．
∵∠1+∠2=∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3．
在△DFA和△DCE中
∠F=∠DCE，DF=CD，∠1=∠3，
∴△DFA≌△DCE．
∴CE=FA．
∴CE+CA=FA+CA=CF=CD．

Answer 2

（1）延长EC到F，使CF=CD，连结DF易知：△CDF是等边三角形，∵∠ACD=∠EFD=60°，CD=FD，∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=60°＋∠CDE，∠EDF=∠CDF+∠CDE=60°＋∠CDE，∴∠ADC=∠EDF，∴△ADC≌△EDF，∴CA=FE=CF+CE=CD+CE
（2）CD=CA+CE，延长AC到F，连结AE、EF，易知△CEF是等边三角形，∵∠ADE=60°，∠ACE=120°，∴A、C、E、D四点共圆，∴∠FAE=∠CDE，∠AED=∠ACD=60°，∵∠AEF=∠AEC+∠CEF=∠AEC+60°，∠DEC=∠AEC+∠AED=∠AEC+60°，∴∠DEC=∠AEF，又CE=FE，故△DEC≌△AEF，CD=FA=AC+CE，

Answer 3

好孩子，自己做。多动脑，有好处

Answer 4

一楼是错的，我只能这样说