Question

已知f(x)=x²+nx+1/x+m是定义域上的奇函数,求(1)m,n的值(2)函数f(x)在(1,+∞)上

是增函数还是减函数，并给出证明。

Answer 1

解由题知x+m≠0
即x≠-m
则函数的定义域为{x/x≠-m}
又由f(x)是奇函数，则-m=0
即m=0
故f(x)=(x^2+nx+1)/x=x+1/x+n
又由f(x)是奇函数
则f(-x)=-f(x)
知n=-n
即n=0
故f(x)=x+1/x
(2)设x1，x2属于(1,正无穷大)
则f(x1)-f(x2)
=x1+1/x1-(x2+1/x2)
=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
由x1＜x2，则x1-x2＜0
又由1＜x1＜x2，知1-1/x1x2＞0
故(x1-x2)(1-1/x1x2)＜0
则f(x1)＜f(x2)
知f(x)在(1,+∞)上是增函数

Answer 2