Question

当x趋向于+∞时，求(x+e^x)^(1/x)的极限，麻烦给出过程！？

Answer 1

(x+e^x)^(1/x)=e^{[LN(x+e^x)]/x}.
注意到，[LN(x+e^x)]/x，上下皆为无穷。对其用罗贝塔法则，上下求导，得LN(x+e^x)]/x=[LN(x+e^x)]对X的导数/1=(1+e^x)/(x+e^x)。
再次使用罗贝塔法则，得(1+e^x)/(x+e^x)=1。
所以，极限为e。

Answer 2

令：
y=(x+e^x)^(1/x)
lny=[ln(x+e^x)]/x
lim(x→∞)lny=lim(x→∞)(1+e^x)/(x+e^x) //: 成∞/∞型的不定式，用洛必达法则；
=lim(x→∞)e^x/(1+e^x) //: 又成∞/∞型的不定式，再用洛必达法则；
=lim(x→∞)e^x/e^x
=1
得到：lim(x→∞)lny=1
y=e
因此：lim(x→∞)(x+e^x)^(1/x)=e

Answer 3

e