Question

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=0，当x〉0时，有( x*f'(x) -f(x)) / x^2 〉0，则不等式f(x)〉0...

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=0，当x〉0时，有( x*f'(x) -f(x)) / x^2 〉0，则不等式f(x)〉0的解集是？请写出一下步骤，谢谢了..

Answer 1

设F(x)=f(x)/x

F(-x)=f(-x)/(-x)=-f(x)/(-x)=f(x)/x=F(x)，即F(x)是偶函数。

x>0时，F'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2>0，即F(x)在区间(0,+无穷)上单调递增。

由于F(x)是偶函数、图象关于y轴对称，所以F(x)在区间(-无穷,0)上单调递减。

f(x)=xF(x)在区间(0,+无穷)上单调递增。

由于f(x)是奇函数、图象关于原点轴对称，所以f(x)在区间(-无穷,0)上单调递增。

f(-1)=-f(1)=0

所以，不等式f(x)>0的解集是：(-1,0)U(1,+无穷)。

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Answer 2

解：
[f(x)／ x ]′=[xf′(x)-f(x) ]／x² ＞0，即x＞0时 f(x) x 是增函数
当x＞1时，f(x) ／x ＞f（1）=0，f（x）＞0；
0＜x＜1时，，f(x) x ＜f（1）=0，f（x）＜0．
又f（x）是奇函数，所以-1＜x＜0时，f（x）=-f（-x）＞0；x＜-1时f（x）=-f（-x）＜0．
则不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 3