Question

已知：如图，一次函数y=kx+b的图像与x轴、y轴分别交于点A(3,0),点B(0，√3)。

以线段AB为一边作等边△ABC，且C在反比例函数y=m/x的图像上。（1）求一次函数解析式；（2）求m的值；（3）O是原点，在线段的垂直平分线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于1/2m，若存在，求出P点的坐标；如不存在，请说明理由。

Answer 1

解:(1)点B为(0,√3),则b=√3;
一次函数y=kx+√3又过点A(3,0),则:0=3k+√3, k= -√3/3.
即一次函数解析式为:y=(-√3/3)x+√3.
(2)AB=√(OA²+OB²)=2√3=2OB,则∠OAB=30° ;
又⊿ABC为等边三角形,则AC=AB=2√3;∠BAO=60°,∠BAC=90°.
点C(3,2√3)在y=m/x上,则m=xy=6√3.
(3)1/2m=(1/2)x6√3=3√3.
①当点P在第一象限时,作PE垂直X轴于E,则PE=OB/2=√3/2;设AE=a.
S⊿ABP=S梯形PEOB-S⊿PEA-S⊿AOB
即3√3=(√3/2+√3)*(3+a)/2-(√3/2)*a/2-3*√3/2, a=9/2.
OE=OA+AE=3+9/2=15/2,即P为(15/2,√3/2);
②当点P在第二象限时,同理相似可求得点P为(9/2,√3/2).

Answer 2

（1）将A,B两点代入，用待定系数法列出一个二元一次方程组可求出y=-√3 /3 x+√3
（2 ）OA=3 OB=√3 tan∠OAB=√3 /3 所以∠OAB=30° 因为等边△ABC，所以∠CAB=60°
所以∠OAC=90° 在直角三角形OAB中根据勾股定理AB=2√3 所以AB=AC=2√3且OA=3
所以点C坐标为（3，2√3 ）将C代入y=m/x可求出m=6√3
（3）假设存在一点P使得△ABP的面积等于1/2m=3√3 过点P做PD垂直于AB交AB于点D，
所以1/2*AB*PD=3√3 所以PD=3 ，在直角三角形PBD中BP=√3 PD=3 所tan∠PBD=√3 所以
∠PBD=60°所以三角形PBA是等边△，所以P,C重合，有（2）可知所以点P坐标为（3，2√3 ）谢谢您，望采纳