Question

已知AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线交于E，过E的直线交AD于D，交BC于C，求证：DE=CE.

已知AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线交于E，过E的直线交AD于D，交BC于C，求证：DE=CE. 快 最迟明天

Answer 1

证明：延长BE与AD的延长线交于点F
因为角DAB和角ABC的平分线交于点E
所以角BAE=角DAE=1/2角DAB
角ABE=1/2角ABC
因为AD平行BC
所以角DAB+角ABC=180度
所以角BAE+角ABE=90度
因为角BAE+角ABE+角AEB=180度
所以角AEB=90度
因为角AEB+角AEF=180度
所以角AEB=角AEF=90度
因为角BAE=角DAE
AE=AE
所以三角形ABE和三角形AFE全等（ASA)
所以BE=EF
因为AD平行BC
所以角EBC=角F
角ECB=角EDF
所以三角形BEC和三角形FDE全等（AAS)
所以EC=DE
所以DE=EC

Answer 2

证明：
延长AE，交BC的延长线于点F
∵AD∥BC
∴∠F=∠DAE
∵∠BAE=∠DAE
∴∠F=∠BAE
∴BA=BF
∵BE是等腰三角形BAF的角平分线
∴AE=EF
∵∠CEF=∠DEA
∴△ADE≌△FEC
∴CE=DE

Answer 3

证明：取F为AB中点，连接EF
在Rt△AEB中，F是斜边AB的中点，∴AF=EF
∴△AFE为等腰△ 即：∠FAE=∠FEA 又∵∠FAE=∠EAD
∴∠FEA = ∠EAD
∴EF//AD
∴EF是梯形ABCD的中位线，即E是CD中点
∴DE=EC

Answer 4

延长AE交BC的延长线于F
∵AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180°
∵∠DAB和∠ABC的平分线交于E
∴∠BAE+∠ABE=½(∠DAB+∠ABC)=½×180°=90°
即∠AEB=90°
∴∠AEB=∠∠FEB=90°
∵∠ABE=∠FBE,BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE(ASA)
∴AE=EF
∵AD∥BC
∴∠ADE=∠FCE
∵∠AED=∠FEC
∴⊿ADE≌⊿FCE(AAS)
∴DE=CE