Question

如图，锐角三角形ABC中，AC＞AB，∠BAC=60°，BC=10

（1）若AB=x，AC=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（2）在AC上截取AB=DC，连接BD，取BD中点E，连接AE；
①将△ABE绕点E旋转180°，若点A落在点A'，连接A'C，判断△DA'C的形状并证明；
②求AE的长

Answer 1

⒈ 由余弦定理得：10²＝X²＋y²﹣2xycos60º＝x²＋y²﹣xy，
y﹣xy＋（x²﹣10²）＝0，
∴ y＝½{ x±√(x²﹣4(x²﹣10²) ＝½{x±√(﹣3x²＋10²)；
∵﹣3x²＋10²≥0，∴定义域:x≤10√3／3。
⒉ ① 旋转后得ABA′D平行四边形，A′D＝AB＝CD(已知），
∠DCA′＝∠DA′C(等边对等角）；
∵∠ADA′＝180º﹣∠A（同旁内角互补）＝120º
＝∠DVA′＋∠DA′C(外角等于不相邻内角和），
∴△DA′C为等边△。
②∵四边形ABA′C为等腰梯形（AC∥BA′，AB＝A′C），
AA′＝BC（对角线相等）＝10（已知），
∴AE＝½AA′＝5.

Answer 2

(1)由余弦定理得
100=x^2+y^2-2xycos60度
100=x^2+y^2-xy
所以y=(x+√(400-3x^2))/2
0<x<20√3/3

Answer 3

(1)由C点向AB作垂线，垂足为O，当A在O点下方时，AO=5-x ；当A在O点上方时，AO=x-5，所以AO^=（x-5）^，在△AOC中，AC^=AO^+OC^,所以y^=（x-5）^+75
又AC＞AB，所以AB<10，
y=根号下（x-5）^+75 (0<X<10)

（2）旋转后，DA'=AB,又AB=DC,所以DA'=DC ，△DA'C是等腰三角形

当△ABC无限接近于正三角形时，AB=BC=10，D无限接近于A，E无限接近于AB中点，所以AE=5